Em cada item abaixo, considere a operação binária star sobre A e verifique se eles apresentam comutatividade e associatividade.
A=R e x star y=x+y2

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto A=R e a operação binária star definida por
xstar y = x+y2
Precisamos verificar se essa operação é comutativa (ou seja, xstar y = ystar x para todos x,yinR) e se é associativa (ou seja, (xstar y)star z = xstar(ystar z) para todos x,y,zinR).

Passo 2

Para comutatividade, basta trocar x e y na definição e ver se o valor não muda. Temos
xstar y = x+y2 e ystar x = y+x2
Como x+y2=y+x2, concluímos que
xstar y = ystar x
para todo x,y. Logo, star é comutativa.

Passo 3

Para associatividade, comparamos (xstar y)star z com xstar(ystar z). Primeiro,
(xstar y)star z = x+y2 + z2 = x+y+2z4
Em seguida,
xstar(ystar z) = x + y+z22 = 2x + y + z4
Como em geral
x+y+2z4 neq 2x+y+z4,
a operação não satisfaz (xstar y)star z = xstar(ystar z). Logo, star não é associativa.

Resposta

Comutativa: Sim
Associativa: Não

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