Sejam
um grupo e
. Mostre que a função
, definida por
, é bijetora.
Passo 1
O enunciado define um grupo
e um elemento
. A função
deve ser mostrada como bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Para isso vamos usar os axiomas de grupo: existência de elemento neutro
e de inversos
, além da associatividade.
Passo 2
Provar que
é injetora. Suponha
ou seja,
Multiplicando à esquerda por
e usando associatividade e
, temos
Logo
é injetora.
Passo 3
Provar que
é sobrejetora. Dado um qualquer
, escolha
Então
Isto mostra que todo elemento
em
tem um antecessor
tal que
. Portanto
é sobrejetora.
Passo 4
Como
é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Resposta
A função
definida por
é bijetora.