Sejam (G, *) um grupo e a in G. Mostre que a função Ta: G longrightarrow G, definida por Ta(x)=a * x, é bijetora.

Passo 1

O enunciado define um grupo (G,*) e um elemento a in G. A função
Tacolon G longrightarrow G, Ta(x)=a * x
deve ser mostrada como bijetora, isto é, injetora e sobrejetora. Para isso vamos usar os axiomas de grupo: existência de elemento neutro e e de inversos a^-1, além da associatividade.

Passo 2

Provar que Ta é injetora. Suponha
Ta(x) = Ta(y),
ou seja,
a * x = a * y
Multiplicando à esquerda por a^-1 e usando associatividade e a^-1*a=e, temos
a^-1*(a * x) = a^-1*(a * y) Longrightarrow (e * x) = (e * y) Longrightarrow x = y
Logo Ta é injetora.

Passo 3

Provar que Ta é sobrejetora. Dado um qualquer yin G, escolha
x = a^-1 * y in G
Então
Ta(x) = a * (a^-1 * y) = (a * a^-1) * y = e * y = y
Isto mostra que todo elemento y em G tem um antecessor x tal que Ta(x)=y. Portanto Ta é sobrejetora.

Passo 4

Como Ta é simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que Ta é bijetora.

Resposta

A função Tacolon G to G definida por Ta(x)=a * x é bijetora.

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