Mostre que o conjunto F(R) de todas as funções de R em R é um grupo abeliano com as operações de adição usual entre funções.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todas as funções de R em R, que chamaremos de
F(R) = ,fmid f:RtoR,
é um grupo abeliano quando equipado com a adição usual de funções. Para isso precisamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e ainda a comutatividade.

Passo 2

Definimos a operação “adição” em F(R) ponto a ponto: para quaisquer f,gin F(R), a função f+g é dada por
(f+g)(x) = f(x) + g(x)para todo xinR

Passo 3

Fechamento sob adição: como f(x) e g(x) são números reais, sua soma f(x)+g(x) também é real. Logo f+g é de fato uma função de R em R, isto é, f+gin F(R).

Passo 4

Associatividade: sejam f,g,hin F(R). Para cada xinR temos
l((f+g)+hr)(x) = (f+g)(x) + h(x) = l(f(x)+g(x)r) + h(x)
e
l(f+(g+h)r)(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + l(g(x)+h(x)r)
Como a adição em R é associativa, l(f(x)+g(x)r)+h(x) = f(x)+l(g(x)+h(x)r) para todo x. Portanto (f+g)+h = f+(g+h).

Passo 5

Elemento neutro: definimos a função zero
0(x) = 0para todo xinR
Então, para qualquer fin F(R),
(f+0)(x) = f(x) + 0 = f(x) e (0+f)(x) = 0 + f(x) = f(x),
mostrando que 0 é o elemento neutro da adição.

Passo 6

Inverso de cada elemento: dado fin F(R), definimos -fin F(R) por
(-f)(x) = -l(f(x)r)para todo xinR
Então
(f + (-f))(x) = f(x) + l(-f(x)r) = 0
para todo x, ou seja, f + (-f) = 0.

Passo 7

Comutatividade: para quaisquer f,gin F(R) e todo xinR,
(f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x),
pois a adição em R é comutativa. Logo f+g = g+f.

Resposta

Portanto, F(R) com a adição usual de funções satisfaz todos os axiomas de um grupo e ainda é comutativo. Logo é um grupo abeliano.

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