Mostre que o conjunto
de todas as funções de
em
é um grupo abeliano com as operações de adição usual entre funções.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto de todas as funções de
em
, que chamaremos de
é um grupo abeliano quando equipado com a adição usual de funções. Para isso precisamos verificar os axiomas de grupo (fechamento, associatividade, elemento neutro e inverso) e ainda a comutatividade.
Passo 2
Definimos a operação “adição” em
ponto a ponto: para quaisquer
, a função
é dada por
Passo 3
Fechamento sob adição: como
e
são números reais, sua soma
também é real. Logo
é de fato uma função de
em
, isto é,
.
Passo 4
Associatividade: sejam
. Para cada
temos
e
Como a adição em
é associativa,
para todo
. Portanto
.
Passo 5
Elemento neutro: definimos a função zero
Então, para qualquer
,
mostrando que
é o elemento neutro da adição.
Passo 6
Inverso de cada elemento: dado
, definimos
por
Então
para todo
, ou seja,
.
Passo 7
Comutatividade: para quaisquer
e todo
,
pois a adição em
é comutativa. Logo
.
Resposta
Portanto,
com a adição usual de funções satisfaz todos os axiomas de um grupo e ainda é comutativo. Logo é um grupo abeliano.