Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
c) Função f(x, y)=e^x cos (y), ponto P0(1, pi / 4, e / raiz 2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de duas variáveis f(x, y) = e^x cos(y) e um ponto específico P0(1, pi4, eraiz2) . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto e a equação da reta normal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e planos tangentes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de f(x, y) em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial em relação a x é:
fx(x, y) = partialpartial x ( e^x cos(y) ) = e^x cos(y)
E a derivada parcial em relação a y é:
fy(x, y) = partialpartial y ( e^x cos(y) ) = -e^x sin(y)

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto P0(1, pi4) .
Calculando fx(1, pi4) :
fx(1, pi4) = e^1 cos(pi4) = e cdot raiz22 = e raiz22
Calculando fy(1, pi4) :
fy(1, pi4) = -e^1 sin(pi4) = -e cdot raiz22 = -e raiz22

Passo 4

Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto (x0, y0, z0) é:
z = z0 + fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z = eraiz2 + e raiz22(x - 1) - e raiz22(y - pi4)
Simplificando:
z = eraiz2 + e raiz22x - e raiz22 - e raiz22y + e raiz22 cdot pi4

Passo 5

Agora, vamos determinar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto [P_{0}). A direção da reta normal é dada pelo vetor gradiente no ponto , que é .
Usando os valores calculados:
çã
A equação paramétrica da reta normal é então:
onde (t] é o parâmetro.

Passo 6

Por fim, para visualizar tudo isso, você pode usar um software de computação científica como o GeoGebra ou o MATLAB. Basta plotar a superfície z = e^x cos(y) e o plano tangente que encontramos. Isso vai te ajudar a ver com clareza como o plano tangente se encaixa na superfície no ponto P0 .

Resposta

A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(1, pi4, eraiz2) é:
z = eraiz2 + e raiz22(x - 1) - e raiz22(y - pi4)
E a equação paramétrica da reta normal é:
x = 1 + e raiz22 t y = pi4 - e raiz22 t z = eraiz2 - t

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