Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis.
Determine a equação do plano tangente e a equação da reta normal à superfície no ponto dado.
Use um software de computação científica para construir o gráfico da superfície e do plano tangente.
c) Função , ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função de duas variáveis e um ponto específico . Nosso objetivo é encontrar a equação do plano tangente à superfície nesse ponto e a equação da reta normal. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas parciais e planos tangentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Calculando :
Calculando :
Passo 4
Com as derivadas parciais em mãos, podemos escrever a equação do plano tangente. A fórmula geral do plano tangente em um ponto é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos determinar a equação da reta normal. A reta normal é perpendicular ao plano tangente e passa pelo ponto [P_{0}). A direção da reta normal é dada pelo vetor gradiente no ponto , que é .
Usando os valores calculados:
A equação paramétrica da reta normal é então:
onde (t] é o parâmetro.
Passo 6
Por fim, para visualizar tudo isso, você pode usar um software de computação científica como o GeoGebra ou o MATLAB. Basta plotar a superfície z = e^x cos(y) e o plano tangente que encontramos. Isso vai te ajudar a ver com clareza como o plano tangente se encaixa na superfície no ponto P0 .
Resposta
A equação do plano tangente à superfície no ponto P0(1, pi4, eraiz2) é:
z = eraiz2 + e raiz22(x - 1) - e raiz22(y - pi4)
E a equação paramétrica da reta normal é:
x = 1 + e raiz22 t y = pi4 - e raiz22 t z = eraiz2 - t