Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
d) Função f(x, y)=raizx^2+y^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos onde o plano tangente à superfície definida pela função f(x, y) = raizx^2 + y^2 é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar onde o plano tangente é plano horizontal.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa que o plano tangente seja horizontal. Um plano tangente é horizontal quando sua inclinação em todas as direções é zero. Isso acontece quando as derivadas parciais da função em relação a x e y são iguais a zero.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais da função f(x, y) = raizx^2 + y^2 em relação a x e y .
A derivada parcial em relação a x é:
fx = partial fpartial x = xraizx^2 + y^2
A derivada parcial em relação a y é:
fy = partial fpartial y = yraizx^2 + y^2

Passo 4

Para que o plano tangente seja horizontal, ambas as derivadas parciais devem ser iguais a zero:
fx = 0 e fy = 0
Portanto, temos as seguintes equações:
xraizx^2 + y^2 = 0 e yraizx^2 + y^2 = 0

Passo 5

Analisando a primeira equação:
xraizx^2 + y^2 = 0
Isso implica que x = 0 .
Agora, analisando a segunda equação:
yraizx^2 + y^2 = 0
Isso implica que y = 0 .

Passo 6

Com x = 0 e y = 0 , substituímos na função original para encontrar o valor de z :
f(0, 0) = raiz0^2 + 0^2 = 0
Portanto, o ponto onde o plano tangente é horizontal é (0, 0, 0) .

Resposta

O único ponto onde o plano tangente à superfície f(x, y) = raizx^2 + y^2 é horizontal é (0, 0, 0) .

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