Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
d) Função
.
d) Função
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos onde o plano tangente à superfície definida pela função
é horizontal. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais, que nos ajudarão a determinar onde o plano tangente é plano horizontal.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa que o plano tangente seja horizontal. Um plano tangente é horizontal quando sua inclinação em todas as direções é zero. Isso acontece quando as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
e
.
A derivada parcial em relação a
é:
A derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Para que o plano tangente seja horizontal, ambas as derivadas parciais devem ser iguais a zero:
Portanto, temos as seguintes equações:
Passo 5
Analisando a primeira equação:
Isso implica que
.
Agora, analisando a segunda equação:
Isso implica que
.
Passo 6
Com
e
, substituímos na função original para encontrar o valor de
:
Portanto, o ponto onde o plano tangente é horizontal é
.
Resposta
O único ponto onde o plano tangente à superfície
é horizontal é
.