Um corpo se desloca em uma linha reta com aceleração constante a. Por uma questão de simplicidade suponha que a reta onde acontece a cinemática seja o eixo X. Se no tempo t=0 o corpo está na origem com velocidade v0, v(t) é a velocidade no tempo t e x(t) é a posição depois de um tempo t, utilize EDOs para deduzir as seguintes identidades:
x(t)=v0 t+12 a t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um corpo que está se movendo em linha reta ao longo do eixo X com uma aceleração constante a . No instante inicial t = 0 , o corpo está na origem (ou seja, x(0) = 0 ) e com uma velocidade inicial v0 . A gente quer descobrir como a posição x(t) do corpo varia com o tempo t . Para isso, vamos usar Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que descrevem o movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração a é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
a = dv(t)dt
Como a aceleração é constante, podemos integrar essa equação para encontrar a expressão da velocidade v(t) .

Passo 3

Integrando a equação a = dv(t)dt em relação a t , temos:
integral a , dt = integral dv(t)dt , dt
Isso resulta em:
a t + C1 = v(t)
Aqui, C1 é a constante de integração. Para encontrar C1 , usamos a condição inicial. Quando t = 0 , a velocidade é v(0) = v0 . Substituindo na equação:
v0 = a cdot 0 + C1 implies C1 = v0
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo é:
v(t) = v0 + a t

Passo 4

Agora que temos a expressão para v(t) , vamos encontrar a posição x(t) . Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
v(t) = dx(t)dt
Substituindo a expressão de v(t) que encontramos:
dx(t)dt = v0 + a t

Passo 5

Vamos integrar essa equação para encontrar x(t) :
integral dx(t)dt , dt = integral (v0 + a t) , dt
Isso resulta em:
x(t) = v0 t + 12 a t^2 + C2
Aqui, C2 é outra constante de integração. Usando a condição inicial x(0) = 0 :
0 = v0 cdot 0 + 12 a cdot 0^2 + C2 implies C2 = 0

Resposta

A posição do corpo em função do tempo é:
x(t) = v0 t + 12 a t^2

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