Um corpo se desloca em uma linha reta com aceleração constante a. Por uma questão de simplicidade suponha que a reta onde acontece a cinemática seja o eixo
. Se no tempo
o corpo está na origem com velocidade
é a velocidade no tempo
e
é a posição depois de um tempo
, utilize EDOs para deduzir as seguintes identidades:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um corpo que está se movendo em linha reta ao longo do eixo
com uma aceleração constante
. No instante inicial
, o corpo está na origem (ou seja,
) e com uma velocidade inicial
. A gente quer descobrir como a posição
do corpo varia com o tempo
. Para isso, vamos usar Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) que descrevem o movimento.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração
é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é expresso como:
Como a aceleração é constante, podemos integrar essa equação para encontrar a expressão da velocidade
.
Passo 3
Integrando a equação
em relação a
, temos:
Isso resulta em:
Aqui,
é a constante de integração. Para encontrar
, usamos a condição inicial. Quando
, a velocidade é
. Substituindo na equação:
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Agora que temos a expressão para
, vamos encontrar a posição
. Sabemos que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Substituindo a expressão de
que encontramos:
Passo 5
Vamos integrar essa equação para encontrar
:
Isso resulta em:
Aqui,
é outra constante de integração. Usando a condição inicial
:
Resposta
A posição do corpo em função do tempo é: