Para cada item abaixo, considere a superfície definida pelo gráfico da função de 2 variáveis. Determine os pontos onde o plano tangente à superfície é horizontal.
a) Função f(x, y)=1-x^2-y^2.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da superfície dada pelo gráfico de f(x,y)=1 - x^2 - y^2 em que o plano tangente é horizontal. Sabemos que o plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (a,b) é
z = f(a,b) + fx(a,b),(x-a) + fy(a,b),(y-b),
e esse plano é horizontal exatamente quando
partial fpartial x(a,b) = 0 e partial fpartial y(a,b) = 0

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y) = -2x, partial fpartial y(x,y) = -2y
Para que o plano tangente seja horizontal, impomos
-2x = 0, -2y = 0

Passo 3

Das equações -2x=0 e -2y=0 segue
x = 0, y = 0
O ponto correspondente na superfície é
l(0,0,f(0,0)r) = (0,0,1)

Resposta

O único ponto onde o plano tangente é horizontal é (0,0,1).

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