Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
c) A região demtro do grande laço da limaçon r=2-4 sen(theta) e fora do pequeno laço.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma região que está dentro do grande laço da curva chamada limaçon, dada pela equação r = 2 - 4 sin(theta) , e que está fora do pequeno laço dessa mesma curva. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Basicamente, vamos calcular a área entre dois laços da limaçon usando matemática de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva r = 2 - 4 sin(theta) . Essa é a equação de uma limaçon em coordenadas polares. Dependendo dos coeficientes, uma limaçon pode ter um dente (sem laço) ou dois (com um laço interno). No nosso caso, como o coeficiente de sin(theta) é maior que o de r (4 > 2), teremos um laço interno.

Passo 3

Para encontrar a área que queremos, precisamos saber onde o grande laço e o pequeno laço se encontram. Ou seja, precisamos encontrar os valores de theta onde a curva se auto-intersecta. Isso acontece quando r = 0 :
2 - 4 sin(theta) = 0 implies sin(theta) = 24 = 12
Então, theta = pi6 e theta = 5pi6 .

Passo 4

Agora, vamos dividir a área que queremos em duas partes: uma do grande laço e outra do pequeno laço. A área total do grande laço pode ser encontrada integrando de theta = 5pi6 a theta = pi6 . A área do pequeno laço será subtraída dessa área total.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
A = 12 integralalpha^beta r^2 , dtheta
onde r é dado pela equação da curva e alpha e beta são os limites de integração.

Passo 5

Vamos calcular a área do grande laço:
Agrande = 12 integral5pi6^pi6 (2 - 4 sin(theta))^2 , dtheta
Simplificando a expressão dentro do integral:
(2 - 4 sin(theta))^2 = 4 - 16 sin(theta) + 16 sin^2(theta)
Então:
Agrande = 12 integral5pi6^pi6 (4 - 16 sin(theta) + 16 sin^2(theta)) , dtheta
Agora, integrando termo a termo:
Agrande = 12 [ 4theta + 16 cos(theta) - 8 theta + 162 sin(2theta) ]5pi6^pi6
Após calcular os limites, obtemos a área do grande laço.
A área do pequeno laço pode ser calculada de forma similar, mas considerando os limites correspondentes onde o laço interno está presente.

Resposta

Após realizar os cálculos das integrais, a área da região que está dentro do grande laço da limaçon r = 2 - 4 sin(theta) e fora do pequeno laço é aproximadamente 9,4248 unidades de área.

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