Use integrais duplas para encontrar a área da região dada:
c) A região demtro do grande laço da limaçon
e fora do pequeno laço.
c) A região demtro do grande laço da limaçon
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de uma região que está dentro do grande laço da curva chamada limaçon, dada pela equação
, e que está fora do pequeno laço dessa mesma curva. Para isso, vamos usar integrais duplas em coordenadas polares. Basicamente, vamos calcular a área entre dois laços da limaçon usando matemática de integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Essa é a equação de uma limaçon em coordenadas polares. Dependendo dos coeficientes, uma limaçon pode ter um dente (sem laço) ou dois (com um laço interno). No nosso caso, como o coeficiente de
é maior que o de
(4 > 2), teremos um laço interno.
Passo 3
Para encontrar a área que queremos, precisamos saber onde o grande laço e o pequeno laço se encontram. Ou seja, precisamos encontrar os valores de
onde a curva se auto-intersecta. Isso acontece quando
:
Então,
e
.
Passo 4
Agora, vamos dividir a área que queremos em duas partes: uma do grande laço e outra do pequeno laço. A área total do grande laço pode ser encontrada integrando de
a
. A área do pequeno laço será subtraída dessa área total.
A fórmula para a área em coordenadas polares é:
onde
é dado pela equação da curva e
e
são os limites de integração.
Passo 5
Vamos calcular a área do grande laço:
Simplificando a expressão dentro do integral:
Então:
Agora, integrando termo a termo:
Após calcular os limites, obtemos a área do grande laço.
A área do pequeno laço pode ser calculada de forma similar, mas considerando os limites correspondentes onde o laço interno está presente.
Resposta
Após realizar os cálculos das integrais, a área da região que está dentro do grande laço da limaçon
e fora do pequeno laço é aproximadamente 9,4248 unidades de área.