Calcule as integrais.
integral 3 x+1x^2-3 x+2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 3x+1x^2-3x+2,dx
O conteúdo aqui é integração de função racional. Como o grau do numerador ( 1) é menor que o do denominador ( 2), vamos usar frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador.

Passo 2

Fatoramos o denominador x^2-3x+2. Procuramos raízes de
x^2-3x+2 = 0,
que são x=1 e x=2. Logo,
x^2-3x+2 = (x-1)(x-2)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
3x+1(x-1)(x-2) = Ax-1 + Bx-2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x-2), obtemos
3x+1 = A(x-2) + B(x-1)

Passo 4

Expandimos e comparamos coeficientes. Da direita,
Igualando aos termos de
Resolvendo, somamos as duas equações para eliminar .

Passo 5

Substituímos na integral:
integral 3x+1(x-1)(x-2),dx = integrall(-4x-1 + 7x-2r),dx = -4integral dxx-1 + 7integral dxx-2
Cada uma é logarítmica:
-4integral dxx-1 = -4lnl|x-1r|, 7integral dxx-2 = 7lnl|x-2r|

Passo 6

Somando as partes e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada geral:
-4lnl|x-1r| + 7lnl|x-2r| + C

Resposta

integral 3x+1x^2-3x+2,dx = -4lnl|x-1r| + 7lnl|x-2r| + C

Exercícios relacionados