Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução explícita, quando possível. O conteúdo envolvido é o de equações de variáveis separáveis, que podemos resolver separando
e
em lados opostos e integrando.
Passo 2
Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Aqui garantimos que
, pois isso estava no denominador da equação original.
Passo 3
Integramos cada lado com relação à sua variável:
No lado esquerdo usamos integração termo a termo e, no direito, a primitiva de
.
Passo 4
Calculando as integrais obtemos
onde
é a constante de integração. Esta é a forma implícita da solução.
Passo 5
Para escrever
de modo explícito, reorganizamos como uma equação quadrática em
:
e aplicamos a fórmula de Bhaskara, chegando a
Podemos redefinir a constante sob a raiz como
, ficando
Passo 6
Observamos que a solução não pode passar por
, pois isso anularia
e invalidaria a separação original. Cada escolha do sinal “
” e do valor de
define um ramo da solução em que
.
Resposta
onde
é constante arbitrária e escolhemos o ramo com
.