Resolva as seguintes equações, explicitando a solução (quando possível):
(d) y^prime=3 t^2-13+2 y

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = 3t^2-13+2y
e pede a solução explícita, quando possível. O conteúdo envolvido é o de equações de variáveis separáveis, que podemos resolver separando y e t em lados opostos e integrando.

Passo 2

Separamos as variáveis multiplicando ambos os lados por (3+2y),dt:
(3+2y),dy = (3t^2-1),dt
Aqui garantimos que 3+2yneq0, pois isso estava no denominador da equação original.

Passo 3

Integramos cada lado com relação à sua variável:
integral (3+2y),dy ;=;integral (3t^2-1),dt
No lado esquerdo usamos integração termo a termo e, no direito, a primitiva de 3t^2-1.

Passo 4

Calculando as integrais obtemos
3y + y^2 = t^3 - t + C,
onde C é a constante de integração. Esta é a forma implícita da solução.

Passo 5

Para escrever y de modo explícito, reorganizamos como uma equação quadrática em y:
y^2 + 3y - l(t^3-t + Cr)=0,
e aplicamos a fórmula de Bhaskara, chegando a
y = -3 pm raiz9 +4,(t^3-t + C)2
Podemos redefinir a constante sob a raiz como K = 9 +4C, ficando
y = -3 pm raiz4t^3-4t + K2

Passo 6

Observamos que a solução não pode passar por y = -tfrac32, pois isso anularia 3+2y e invalidaria a separação original. Cada escolha do sinal “ pm” e do valor de K define um ramo da solução em que yneq -tfrac32.

Resposta

y(t) = -3 pm raiz4t^3 - 4t + K2,
onde K é constante arbitrária e escolhemos o ramo com yneq -tfrac32.

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