Calcule por coordenadas polares a integral dupla
. Onde R é a região de integração limitada pelas circunferências
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular
, onde
é a região entre as circunferências
e
. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas
para polares
:
Além disso, o elemento de área
em coordenadas polares é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A função
fica
e a região
entre as circunferências
e
corresponde a
e
. Então, a integral se transforma em:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
ou $ \frac{du}{2} = r , dr$. Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
:
Resposta
Simplificando, a integral dupla resulta em: