Calcule por coordenadas polares a integral dupla integralR integral e^x^2+y^2 dA. Onde R é a região de integração limitada pelas circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla usando coordenadas polares! O enunciado pede para calcular integralR integral e^x^2+y^2 , dA, onde R é a região entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9. Para isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis quando temos simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta):
  • x = r cos theta
  • y = r sin theta
  • x^2 + y^2 = r^2
Além disso, o elemento de área dA em coordenadas polares é dado por r , dr , dtheta.

Passo 3

Agora, vamos reescrever a integral em coordenadas polares. A função e^x^2+y^2 fica e^r^2 e a região R entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=9 corresponde a 1 <= r <= 3 e 0 <= theta <= 2pi. Então, a integral se transforma em:
integral0^2pi integral1^3 e^r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral1^3 e^r^2 cdot r , dr
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição simples. Seja u = r^2, então du = 2r , dr ou $ \frac{du}{2} = r , dr$. Substituindo:
du2 = r , dr

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a theta:
integral0^2pi 12 ( e^9 - e ) , dtheta = 12 ( e^9 - e ) cdot [ theta ]0^2pi = 12 ( e^9 - e ) cdot 2pi

Resposta

Simplificando, a integral dupla resulta em:
pi ( e^9 - e )

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