Calcule os limites usando a regra de LHôspital sempre que possível:
lim x 0 sen(pi 3^x)x

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
limxto0senl(pi,3^xr)x
usando a regra de L’H^opital. O conteúdo é limites de indeterminação tfrac00 e aplicação da regra de L’H^opital.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=0:
senl(pi,3^0r)=sen(pi)=0 e x=0,
logo temos 0/0, então podemos usar L’H^opital.

Passo 3

Aplicamos L’H^opital, derivando numerador e denominador:
ddxsenl(pi,3^xr) =cosl(pi,3^xr),ddx(pi,3^x) =cosl(pi,3^xr),pi,3^xln3,
e
ddx(x)=1
O limite vira
limxto0cosl(pi,3^xr),pi,3^xln31

Passo 4

Agora avaliamos em xto0:
cosl(pi,3^0r)=cos(pi)=-1, 3^0=1,
portanto
limxto0cosl(pi,3^xr),pi,3^xln31 =-1cdotpicdot1cdotln3 =-piln3

Resposta

-piln3

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