Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial V e uma base B de V. Determine, em cada caso, a base dual B^*:
(a) V=C^4 e B=(1,0,-1,0),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1),(0,0,0,1).

Passo 1

O enunciado diz que temos o espaço vetorial V=C^4 com a base
B=v1,v2,v3,v4 =(1,0,-1,0),,(0,1,0,-1),,(0,0,1,-1),,(0,0,0,1)
e pede a base dual B^*=f1,f2,f3,f4, em que cada funcional fi:VtoC satisfaz
fi(vj)=de<aij

Passo 2

Para achar a base dual é comum escrever um vetor genérico x=(x1,x2,x3,x4) como combinação linear dos vetores de B:
x = a1,v1 + a2,v2 + a3,v3 + a4,v4
Os coeficientes ai são exatamente fi(x), pois fi deve selecionar a coordenada ai de x na base B.

Passo 3

Escrevendo a combinação em coordenadas, temos
x = (x1, x2, x3, x4) = a1 cdot (1,0,-1,0) + a2 cdot (0,1,0,-1) + a3 cdot (0,0,1,-1) + a4 cdot (0,0,0,1)
Isto gera o sistema
x1 = a1, [6pt] x2 = a2, [6pt] x3 = -a1 + a3, [6pt] x4 = -a2 - a3 + a4
Dessas equações segue
a1 = x1, a2 = x2, a3 = x3 + a1 = x3 + x1, a4 = x4 + a2 + a3 = x4 + x2 + (x3 + x1) ]

Passo 4

Como fi(x)=ai, obtemos os quatro funcionais:
f1(x1,x2,x3,x4)=x1, f2(x1,x2,x3,x4)=x2,
f3(x1,x2,x3,x4)=x1 + x3, f4(x1,x2,x3,x4)=x1 + x2 + x3 + x4

Resposta

A base dual B^*=f1,f2,f3,f4 é dada por
f1(x)=x1, f2(x)=x2, f3(x)=x1 + x3, f4(x)=x1 + x2 + x3 + x4

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