Consideremos os funcionais lineares f: R^3 R e g: R^3 R definidos, respectivamente, por:
f(x, y, z)=2 x+5 y-z e g(x, y, z)=3 x-y+7 z
(b) Existe alguma relação entre nuc(f) cap nuc(g) e nuc (f+g) ?

Passo 1

O enunciado define dois funcionais lineares
fcolonR^3toR e gcolonR^3toR dados por
f(x,y,z)=2x+5y-z, g(x,y,z)=3x-y+7z
Pede-se uma relação entre os núcleos nuc(f)capnuc(g) e nuc(f+g).
Conteúdo: propriedades de subespaços vetoriais (kernels de aplicações lineares) e relações de inclusão.

Passo 2

Calculemos o funcional f+g. Para todo (x,y,z)inR^3 vale
(f+g)(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z) =(2x+5y-z)+(3x-y+7z) =5x+4y+6z

Passo 3

Mostramos que
nuc(f)capnuc(g);subseteq;nuc(f+g)
De fato, se vinnuc(f)capnuc(g) então f(v)=0 e g(v)=0. Logo
(f+g)(v)=f(v)+g(v)=0+0=0,
ou seja vinnuc(f+g).

Passo 4

Para ver que a inclusão pode ser estrita, basta encontrar w tal que (f+g)(w)=0 mas f(w)neq0. Por exemplo, escolha
w=(4,-5,0)
Então
(f+g)(4,-5,0)=5cdot4+4cdot(-5)+6cdot0=20-20+0=0,
porém
f(4,-5,0)=2cdot4+5cdot(-5)-0=8-25=-17neq0
Logo winnuc(f+g) mas wnotinnuc(f), portanto wnotinnuc(f)capnuc(g).

Resposta

Temos
nuc(f)capnuc(g);subsetneq;nuc(f+g)

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