Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial V e uma base B de V. Determine, em cada caso, a base dual B^*:
(c) V=C[x]3 e B=1-x^2, x-x^3, x^2-x^3, x^3.

Passo 1

O enunciado pede a base dual B^*=phi1,phi2,phi3,phi4 de V=C[x]3 à partida da base
B=b1,b2,b3,b4=,1-x^2,;x-x^3,;x^2-x^3,;x^3.
Por definição, queremos phii(bj)=de<aij. Para isso, vamos usar a base canônica 1,x,x^2,x^3 e os funcionais que extraem coeficientes.

Passo 2

Escrevendo cada bj em relação à base 1,x,x^2,x^3 obtemos os vetores-coluna
b1=10-10,; b2=010-1,; b3=001-1,; b4=0001
Isto define a matriz
M=[,b1;b2;b3;b4] = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 -1& 0 & 1 & 0 0 & -1&-1 & 1

Passo 3

Calculamos M^-1 por escalonamento ou substituição regressiva. O resultado é
M^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 & 1
As linhas de M^-1 dão as coordenadas dos funcionais phii na base dual canônica f0,f1,f2,f3, onde fk(p) é o coeficiente de x^k em p.

Passo 4

Se p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3, então
phi1(p)=a0, phi2(p)=a1, phi3(p)=a0+a2, phi4(p)=a0+a1+a2+a3

Resposta

phi1(p)=a0
phi2(p)=a1
phi3(p)=a0+a2
phi4(p)=a0+a1+a2+a3
onde p(x)=a0+a1x+a2x^2+a3x^3.

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