Consideremos os funcionais lineares f: R^3 R e g: R^3 R definidos, respectivamente, por:
f(x, y, z)=2 x+5 y-z e g(x, y, z)=3 x-y+7 z
(a) Determine nuc(f), nuc(g), nuc(f) cap nuc(g) e nuc(f+g).

Passo 1

O enunciado define dois funcionais lineares
fcolon R^3to R, f(x,y,z)=2x+5y-z,
gcolon R^3to R, g(x,y,z)=3x-y+7z
Queremos determinar
nuc(f)=(x,y,z)mid f(x,y,z)=0,
nuc(g),
nuc(f)capnuc(g) e
nuc(f+g).
Lembrando que a nulidade de um funcional é um subespaço de dimensão 2 (um plano) e a interseção de dois planos genéricos em R^3 é uma reta.

Passo 2

Para nuc(f) resolvemos
2x+5y-z=0
isolando z:
z=2x+5y
Logo
nuc(f) =(x,y,2x+5y)mid x,yin R =x(1,0,2)+y(0,1,5)mid x,yin R

Passo 3

Para nuc(g) resolvemos
3x - y +7z=0
isolando y:
y=3x+7z
Assim
nuc(g) =(x,3x+7z,z)mid x,zin R =x(1,3,0)+z(0,7,1)mid x,zin R

Passo 4

Para
Da primeira . Se , temos
Logo

Passo 5

Para nuc(f+g) primeiro calculamos
(f+g)(x,y,z)=f(x,y,z)+g(x,y,z) =(2x+5y-z)+(3x-y+7z) =5x+4y+6z
Resolvendo
5x+4y+6z=0
isolamos, por exemplo, z:
z=-56x-23y
Portanto
nuc(f+g) =l(x,y,-tfrac56x-tfrac23y)mid x,yin Rr =x(6,0,-5)+y(0,3,-2)mid x,yin R

Resposta

nuc(f) =(x,y,2x+5y)mid x,yin R,
nuc(g) =(x,3x+7z,z)mid x,zin R,
nuc(f)capnuc(g) =t(-2,1,1)mid tin R,
nuc(f+g) =(x,y,-tfrac56x-tfrac23y)mid x,yin R

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