Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial V e um subespaço H de V. Verifique, em cada caso, que H é um hiperplano em V e determine um funcional linear f in V^* tal que H=nuc(f) :
V=C^4 e H=(a, b, c, d) in C^4: a+b+c+d=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=C^4 e o subconjunto
H=(a,b,c,d)inC^4:a+b+c+d=0
Queremos mostrar que H é um hiperplano de V, isto é, um subespaço de codimensão 1, e então encontrar um funcional linear fin V^* tal que H=nuc(f).

Passo 2

Para ver que H é subespaço, note que:
  • O vetor nulo (0,0,0,0) satisfaz 0+0+0+0=0, logo (0,0,0,0)inH.
  • Se (a1,b1,c1,d1) e (a2,b2,c2,d2) estão em H, então (a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)+(d1+d2) =(a1+b1+c1+d1)+(a2+b2+c2+d2)=0+0=0, logo a soma está em H.
  • Se lambdainC e (a,b,c,d)inH, então lambda a+lambda b+lambda c+lambda d =lambda(a+b+c+d)=lambdacdot0=0, logo lambda(a,b,c,d)inH.
    Portanto H é um subespaço de V.

Passo 3

Como H é definido por uma única equação linear homogênea em quatro variáveis, ele impõe exatamente uma condição independente. Num espaço de dimensão 4 isso faz com que dimH=4-1=3. Logo a codimensão de H em V é 1, o que caracteriza um hiperplano.

Passo 4

Definimos o funcional linear
fcolon C^4toC, f(a,b,c,d)=a+b+c+d
É claro que f é linear e que
nuc(f)=(a,b,c,d):f(a,b,c,d)=0 =(a,b,c,d):a+b+c+d=0=H

Resposta

O funcional fin V^* que satisfaz H=nuc(f) é
f(a,b,c,d)=a+b+c+d

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