Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial
e um subespaço
de
. Verifique, em cada caso, que
é um hiperplano em
e determine um funcional linear
tal que
:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos mostrar que
é um hiperplano de
, isto é, um subespaço de codimensão 1, e então encontrar um funcional linear
tal que
.
Passo 2
Para ver que
é subespaço, note que:
- O vetor nulo
satisfaz , logo . - Se
e estão em , então logo a soma está em . - Se
e , então logo .
Portantoé um subespaço de .
Passo 3
Como
é definido por uma única equação linear homogênea em quatro variáveis, ele impõe exatamente uma condição independente. Num espaço de dimensão 4 isso faz com que
. Logo a codimensão de
em
é
, o que caracteriza um hiperplano.
Passo 4
Definimos o funcional linear
É claro que
é linear e que
Resposta
O funcional
que satisfaz
é