Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial V e um subespaço H de V. Verifique, em cada caso, que H é um hiperplano em V e determine um funcional linear f in V^* tal que H=nuc(f) :
V=M(2, C) e H=(lla & b c & d) in M(2, C): a+b+c-d=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V = M(2,C), que tem dimensão 4, e o subespaço
H = la & b c & din M(2,C) : a + b + c - d = 0r
Queremos mostrar que H é um hiperplano de V, isto é, um subespaço de codimensão 1, e encontrar um funcional linear fin V^* tal que
H = ker(f)

Passo 2

Definimos o funcional
f colon M(2,C) ;longrightarrow; C, f!l(a & b c & dr) = a + b + c - d
É imediato checar que f é linear (soma de entradas com coeficientes fixos). Além disso
ker(f) = lAin M(2,C): f(A)=0r = la & b c & d: a + b + c - d = 0r = H

Passo 3

Como f não é o funcional zero (por exemplo f(E11)=1), seu núcleo tem codimensão 1 em V. Logo ker(f)=H é um hiperplano de V.

Resposta

f!l(a & b c & dr) = a + b + c - d

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