Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial V e um subespaço H de V. Verifique, em cada caso, que H é um hiperplano em V e determine um funcional linear f in V^* tal que H=nuc(f) :
V=C[x]3 e H=a+b x+c x^2+d x^3 in C[x]3: a+b-c-d=0.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=C[x]3 (polinômios de grau <=3) de dimensão 4, e o subconjunto
H=,a+b x+c x^2+d x^3in V : a+b-c-d=0
Pede-se mostrar que H é um hiperplano (subespaço de codimensão 1) e encontrar um funcional linear fin V^* tal que H=ker(f).

Passo 2

Note que H é definido pela única equação linear homogênea
a+b-c-d=0
Qualquer conjunto de soluções de uma equação linear homogênea numa espaço vetorial forma um subespaço, e como há exatamente uma restrição linear independente, H tem codimensão 1 em V. Logo, H é um hiperplano.

Passo 3

Definimos o funcional linear
f:Vlongrightarrow C, fl(a+b x+c x^2+d x^3r)=a+b-c-d
É evidente que f é linear (soma de coordenadas com coeficientes fixos) e que
ker(f)=pin V : f(p)=0 =,a+bx+cx^2+dx^3 : a+b-c-d=0=H

Resposta

Um funcional que satisfaz H=ker(f) é
fl(a+bx+cx^2+dx^3r)=a+b-c-d

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