Em cada item abaixo é dado um espaço vetorial
e um subespaço
de
. Verifique, em cada caso, que
é um hiperplano em
e determine um funcional linear
tal que
:
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
(polinômios de grau
) de dimensão
, e o subconjunto
Pede-se mostrar que
é um hiperplano (subespaço de codimensão
) e encontrar um funcional linear
tal que
.
Passo 2
Note que
é definido pela única equação linear homogênea
Qualquer conjunto de soluções de uma equação linear homogênea numa espaço vetorial forma um subespaço, e como há exatamente uma restrição linear independente,
tem codimensão
em
. Logo,
é um hiperplano.
Passo 3
Definimos o funcional linear
É evidente que
é linear (soma de coordenadas com coeficientes fixos) e que
Resposta
Um funcional que satisfaz
é