Mostre que se
, então existem
tais que
para todo
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um funcional linear em
, ou seja,
é linear. O que queremos mostrar é que existem escalares
tais que, para todo vetor
,
Para isso vamos usar a base canônica de
e a propriedade de linearidade de
.
Passo 2
Considere a base canônica
de
, onde
tem 1 na coordenada
e zeros nas demais. Qualquer vetor
se decompõe unicamente como
Passo 3
Como
é linear, vale
Defina agora
que são escalares em
. Substituindo, obtemos
Resposta
Assim, escolhendo
, mostramos que
para todo
.