Mostre que se f in(K^m)^*, então existem k1, ldots, km in K tais que
f(x1, ldots, xm)=k1 x1+cdots+km xm
para todo (x1, ldots, xm) in K^m.

Passo 1

O enunciado diz que f é um funcional linear em K^m, ou seja,
fcolon K^m K
é linear. O que queremos mostrar é que existem escalares k1,dots,kminK tais que, para todo vetor
l(x1,dots,xmr)inK^m,
f(x1,dots,xm) = k1x1 + cdots + kmxm
Para isso vamos usar a base canônica de K^m e a propriedade de linearidade de f.

Passo 2

Considere a base canônica e1,dots,em de K^m, onde
ej = (0,dots,0,1,0,dots,0)
tem 1 na coordenada j e zeros nas demais. Qualquer vetor x=(x1,dots,xm) se decompõe unicamente como
x = x1e1 + x2e2 + cdots + xmem

Passo 3

Como f é linear, vale
f(x) = fl(x1e1 + cdots + xmemr) = x1,f(e1) + cdots + xm,f(em)
Defina agora
kj ;=; f(ej), j=1,dots,m,
que são escalares em K. Substituindo, obtemos
f(x1,dots,xm) = k1x1 + cdots + kmxm

Resposta

Assim, escolhendo kj=f(ej), mostramos que
f(x1,dots,xm) = k1x1 + cdots + kmxm,
para todo l(x1,dots,xmr)inK^m.

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