Mostre que:
Se
e
é definida por
, para todo
, então
é linear.
Se
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre o corpo
, que
são funcionais lineares em
, e que definimos
Precisamos mostrar que
satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade (ou seja,
e
).
Passo 2
(Propriedade de aditividade)
Sejam . Então
Sejam
pela linearidade de cada
. Mas somar coordenada a coordenada em
dá
Passo 3
(Propriedade de homogeneidade)
Seja e
. Então
Seja
pela linearidade de cada
. E fatorando
coordenada a coordenada em
obtemos
Resposta
Como
satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que
é linear.