Mostre que:
Se f1, ldots, fm in V^* e S: V K^m é definida por S(v)=(f1(v), ldots, fm(v)), para todo v in V, então S é linear.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre o corpo K, que f1,dots,fmin V^* são funcionais lineares em V, e que definimos
S:VtoK^m, S(v) = l(f1(v),dots,fm(v)r)
Precisamos mostrar que S satisfaz as duas propriedades de linearidade: aditividade e homogeneidade (ou seja, S(u+v)=S(u)+S(v) e S(alpha v)=alpha,S(v)).

Passo 2

(Propriedade de aditividade)
Sejam u,vin V. Então
S(u+v) = l(f1(u+v),dots,fm(u+v)r) = l(f1(u)+f1(v),dots,fm(u)+fm(v)r)
pela linearidade de cada fi. Mas somar coordenada a coordenada em K^m
l(f1(u)+f1(v),dots,fm(u)+fm(v)r) = l(f1(u),dots,fm(u)r) + l(f1(v),dots,fm(v)r) = S(u) + S(v)

Passo 3

(Propriedade de homogeneidade)
Seja alphainK e vin V. Então
S(alpha v) = l(f1(alpha v),dots,fm(alpha v)r) = l(alpha,f1(v),dots,alpha,fm(v)r)
pela linearidade de cada fi. E fatorando alpha coordenada a coordenada em K^m obtemos
l(alpha,f1(v),dots,alpha,fm(v)r) = alpha ,l(f1(v),dots,fm(v)r) = alpha,S(v)

Resposta

Como S satisfaz aditividade e homogeneidade, concluímos que S é linear.

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