Em cada item abaixo, decida se a firmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta:
Seja
uma transformação linear cuja matriz
com respeito base canônica
é uma matriz triangular. Então os autovalores de
são os elementos da diagonal principal de
.
Seja
Passo 1
O enunciado diz que temos uma transformação linear
cuja matriz em relação à base canônica é uma matriz triangular
. Queremos decidir se os autovalores de
são exatamente os elementos da diagonal principal de
. O conteúdo aqui é autovalores, polinômio característico e propriedades de matrizes triangulares.
cuja matriz em relação à base canônica
Passo 2
Por definição,
é autovalor de
se e somente se
Esse determinante é o polinômio característico de
.
Passo 3
Como
é triangular, a matriz
também é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal. Logo,
onde
é o
-ésimo elemento da diagonal principal de
.
Passo 4
As raízes do polinômio característico são exatamente os valores de
que anulam algum fator
, ou seja,
Portanto, os autovalores de
coincidem com os elementos da diagonal principal de
.
Resposta
Verdadeira.