Em cada item abaixo, decida se a firmação é Verdadeira ou Falsa, justificando sua resposta:
Seja T: R^n R^n uma transformação linear cuja matriz M=[T]C, C com respeito base canônica C é uma matriz triangular. Então os autovalores de T são os elementos da diagonal principal de M.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma transformação linear
T:R^ntoR^n
cuja matriz em relação à base canônica C é uma matriz triangular M=[T]C,C. Queremos decidir se os autovalores de T são exatamente os elementos da diagonal principal de M. O conteúdo aqui é autovalores, polinômio característico e propriedades de matrizes triangulares.

Passo 2

Por definição, lambdainR é autovalor de T se e somente se
detl(M - lambda Ir)=0
Esse determinante é o polinômio característico de M.

Passo 3

Como M é triangular, a matriz M - lambda I também é triangular, e o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da sua diagonal. Logo,
detl(M - lambda Ir) =prodi=1^nl(mii-lambdar),
onde mii é o i-ésimo elemento da diagonal principal de M.

Passo 4

As raízes do polinômio característico são exatamente os valores de lambda que anulam algum fator (mii-lambda), ou seja,
lambda = m11,,m22,,dots,,mnn
Portanto, os autovalores de T coincidem com os elementos da diagonal principal de M.

Resposta

Verdadeira.

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