Considere T: R^2 R^2 com autovalores lambda=-1 e lambda=2. Ache a lei de T quando
V-1=lang<=(-1,1)rang<= e V2=lang<=(1,0)rang<=.

Passo 1

O enunciado diz que TcolonR^2toR^2 é linear, tem autovalores -1 com autovetor (-1,1) e 2 com autovetor (1,0). Para achar a “lei” de T, isto é, T(x,y) no sistema de coordenadas canônico, vamos usar a base formada por esses dois autovetores e depois voltar ao padrão.

Passo 2

Verificamos que (1,0),,(-1,1) é base de R^2 porque os vetores são linearmente independentes. Em particular, qualquer (x,y) pode ser escrito como combinação
(x,y)=a,(1,0)+b,(-1,1)
Nesse caso, igualando coordenadas temos
(x,y)=(a-b,;b),
logo b=y e a = x+y.

Passo 3

Sabemos como T age nos autovetores:
T(1,0)=2,(1,0)=(2,0),
T(-1,1)=-1,(-1,1)=(1,-1)
Como T é linear, em coordenadas da base de autovetores
Tl(a,(1,0)+b,(-1,1)r) =a,T(1,0)+b,T(-1,1)

Passo 4

Substituindo a=x+y e b=y,
T(x,y) =(x+y),(2,0)+y,(1,-1) =(2(x+y)+y,;0cdot(x+y)-y) =(2x+3y,;-y)

Passo 5

Concluímos que, na base canônica, a lei de T é
T(x,y)=(2x+3y,,-y)

Resposta

T(x,y)=(2x+3y,,-y).

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