Considere T: R^2 R^2 com autovalores lambda=-1 e lambda=2. Ache a lei de T quando
V-1=lang<=(1,0)rang<= e V2=lang<=(-1,1)rang<= ;

Passo 1

O enunciado fornece TcolonR^2toR^2 com autovalores -1 e 2 cujos espaços próprios são
V-1=lang<=(1,0)rang<= e V2=lang<=(-1,1)rang<=
Precisamos encontrar a lei de T, isto é, uma expressão de T(x,y) em coordenadas padrão.

Passo 2

Definimos v1=(1,0) e v2=(-1,1). Como v1,v2 é um conjunto de vetores linearmente independentes em R^2, eles formam uma base. Pelas hipóteses de autovalor temos
T(v1)=-1cdot v1, T(v2)=2cdot v2

Passo 3

Para um vetor genérico (x,y) escrevemos
(x,y)=a,v1+b,v2
Isso dá
(x,y)=(a,-b)+(0,b)=(a-b,;b),
logo comparando coordenadas temos b=y e a-b=x, ou seja
b=y, a=x+y

Passo 4

Usando linearidade,
T(x,y)=Tl((x+y)v1+y,v2r) =(x+y),T(v1)+y,T(v2) =(x+y)(-v1)+y,(2v2)

Passo 5

Agora convertemos para coordenadas padrão:
-(x+y)v1+y,(2v2) =-(x+y)(1,0)+2y(-1,1) =l(-x-y-2y,;2yr) =l(-x-3y,;2yr)
Portanto, em base canônica,
T(x,y)=(-x-3y,;2y)
Em termos de matriz na base padrão,
[T]can=-1 & -3 [6pt] 0 & 2 ]

Resposta

A lei da transformação é
T(x,y)=(-x-3y,;2y)

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