Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
Se \int_{1}^{3} f(x) d x<0, então f(x) \leq 0 para x \in[1,3].
Passo 1
O enunciado afirma que, se
\int_{1}^{3} f(x)\,dx < 0,
então necessariamente f(x)\le 0 para todo x\in[1,3]. O conteúdo envolve interpretação geométrica de integrais definidas e suas propriedades de sinal.
Passo 2
Sabemos que \int_{1}^{3} f(x)\,dx é a área algébrica sob o gráfico de f: áreas acima do eixo x contam positivamente e abaixo contam negativamente. Uma integral negativa apenas diz que a soma das áreas abaixo do eixo x supera a soma das áreas acima, mas não impede que em parte do intervalo f(x) seja positiva.
Passo 3
Para contradizer a proposição, basta um contraexemplo. Defina