Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
Se \int_{1}^{3} f(x) d x<0, então f(x) \leq 0 para x \in[1,3].

Passo 1

O enunciado afirma que, se
\int_{1}^{3} f(x)\,dx < 0,
então necessariamente f(x)\le 0 para todo x\in[1,3]. O conteúdo envolve interpretação geométrica de integrais definidas e suas propriedades de sinal.

Passo 2

Sabemos que \int_{1}^{3} f(x)\,dx é a área algébrica sob o gráfico de f: áreas acima do eixo x contam positivamente e abaixo contam negativamente. Uma integral negativa apenas diz que a soma das áreas abaixo do eixo x supera a soma das áreas acima, mas não impede que em parte do intervalo f(x) seja positiva.

Passo 3

Para contradizer a proposição, basta um contraexemplo. Defina
f(x)= \begin{cases} 2, & x\in[1,2],\\\\ -3, & x\in(2,3]. \end{cases}
Então
\int_{1}^{3} f(x)\,dx =\int_{1}^{2}2\,dx+\int_{2}^{3}(-3)\,dx =2\cdot1+(-3)\cdot1 =-1<0,
mas em [1,2] temos f(x)=2>0.

Passo 4

Esse exemplo mostra que \int_{1}^{3}f(x)\,dx<0 não implica f(x)\le0 em todo o intervalo. Logo, a proposição é falsa.

Resposta

Falsa

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