Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
\operatorname{Se} \int_{0}^{1} f(x) d x=0, então f(x)=0 para x \in[0,1].

Passo 1

O enunciado trabalha com integrais próprias de funções em [0,1]. A proposição é:
Se \displaystyle \int_{0}^{1}f(x)\,dx=0, então f(x)=0 para todo x\in[0,1].
Vamos analisar se isso vale para funções integráveis em geral, sem assumir continuidade.

Passo 2

Em geral, uma função pode ser diferente de zero em um conjunto de medida zero e ainda ter integral zero. Logo, não podemos garantir que f(x) seja nula em cada ponto, apenas que sua integral se anula. Portanto, a proposição é falsa.

Passo 3

Para dar um contraexemplo simples, defina
f(x)= \begin{cases} 1, & x=\tfrac12,\\\\ 0, &\text{caso contrário}. \end{cases}á
Essa função está em todo caso limitada e é Riemann-integrável em [0,1], pois o conjunto onde ela difere de zero tem medida zero (é apenas o ponto x=\tfrac12).

Passo 4

Pela definição de integral de Riemann, pontos isolados não afetam o valor da integral. Assim, mesmo tendo f(\tfrac12)=1, temos
\int_{0}^{1}f(x)\,dx = 0.
Fica claro que \int_{0}^{1}f(x)\,dx=0 mas f(\tfrac12)\neq0. Logo a condição dada não implica f(x)=0 para todo x\in[0,1].

Resposta

A proposição é falsa, pois há funções integráveis com integral zero que não são identicamente nulas (por exemplo, a que vale 1 num ponto e 0 nos demais).

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