Determine quais das alternativas abaixo são verdadeiras, explique suas respostas:
\int_{0}^{1} e^{x} d x>\int_{0}^{1} x^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
\int_{0}^{1} e^x \, dx > \int_{0}^{1} x^2 \, dx.
O conteúdo é comparação de integrais definidas de funções contínuas.

Passo 2

Podemos resolver de duas maneiras:
  1. calcular cada integral e comparar numericamente;
  2. comparar diretamente os integrandos em [0,1] e usar a propriedade de monotonicidade da integral.

Passo 3

Calculemos as integrais:
\int_{0}^{1} e^x \, dx = \bigl[e^x\bigr]_{0}^{1} = e - 1,
\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 4

Comparando os valores, como e\approx2,718 temos
e - 1 \approx 1,718 \quad\text{e}\quad \frac{1}{3} \approx 0,333,
logo
e - 1 > \frac{1}{3} \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{1} e^x \, dx > \int_{0}^{1} x^2 \, dx.

Passo 5

Alternativamente, note que para todo x\in[0,1] vale
e^x > 1 + x > x^2,
então por monotonicidade da integral
\int_{0}^{1} e^x \, dx > \int_{0}^{1} x^2 \, dx.

Resposta

A desigualdade é verdadeira.

Exercícios relacionados