Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
Se \int_{0}^{1} f(x) d x \leq \int_{0}^{1} g(x) d x, então f(x) \leq g(x) para x \in[0,1].

Passo 1

O enunciado pergunta se a desigualdade entre integrais
\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x \le \int_{0}^{1}g(x)\,\mathrm{d}x
implica a desigualdade pontual f(x)\le g(x) para todo x\in[0,1]. O conteúdo envolve comparar valores globais (integrais) versus valores locais (ponto a ponto).

Passo 2

Para mostrar que essa implicação não vale, basta um contra-exemplo. Defina
f(x)=\begin{cases} 2, & 0\le x\le\tfrac12,\\\\ 0, & \tfrac12<x\le1, \end{cases} \quad g(x)=1\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Então
\int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1/2}2\,\mathrm{d}x =2\cdot\tfrac12=1 \quad\text{e}\quad \int_{0}^{1}g(x)\,\mathrm{d}x =\int_{0}^{1}1\,\mathrm{d}x =1,
Logo \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}g(x)\,\mathrm{d}x, cumprindo a hipótese. Mas em cada x\in[0,\tfrac12] temos f(x)=2>1=g(x), contrariando a conclusão f(x)\le g(x).

Resposta

A proposição é falsa.

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