Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
Se \int_{0}^{1} f(x) d x \leq \int_{0}^{1} g(x) d x, então f(x) \leq g(x) para x \in[0,1].
Passo 1
O enunciado pergunta se a desigualdade entre integrais
implica a desigualdade pontual f(x)\le g(x) para todo x\in[0,1]. O conteúdo envolve comparar valores globais (integrais) versus valores locais (ponto a ponto).
Passo 2
Para mostrar que essa implicação não vale, basta um contra-exemplo. Defina
Logo \int_{0}^{1}f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{1}g(x)\,\mathrm{d}x, cumprindo a hipótese. Mas em cada x\in[0,\tfrac12] temos f(x)=2>1=g(x), contrariando a conclusão f(x)\le g(x).