Determine quais das alternativas abaixo são verdadeiras, explique suas respostas:
\int_{-1}^{1}\left|x^{5}\right| d x=\left|\int_{-1}^{1} x^{5} d x\right|

Passo 1

O enunciado pergunta se vale a igualdade entre a integral do valor absoluto de x^5 em [-1,1] e o valor absoluto da integral de x^5 em [-1,1]. O conteúdo envolve integrais definidas, funções ímpares e pares, e a propriedade geral
\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx \ge \Bigl|\int_{a}^{b}f(x)\,dx\Bigr|.

Passo 2

Calculemos o lado esquerdo
\int_{-1}^{1}\bigl|x^{5}\bigr|\,dx.
Como \lvert x^{5}\rvert = |x|^{5} é função par, em intervalo simétrico temos
\int_{-1}^{1}|x|^{5}\,dx =2\int_{0}^{1}x^{5}\,dx =2\cdot\Bigl[\frac{x^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} =2\cdot\frac{1}{6} =\frac{1}{3}.

Passo 3

Agora o lado direito
\Bigl|\int_{-1}^{1}x^{5}\,dx\Bigr|.
Como x^{5} é função ímpar, em intervalo simétrico
\int_{-1}^{1}x^{5}\,dx=0 \quad\Longrightarrow\quad \Bigl|0\Bigr|=0.

Passo 4

Comparando os resultados temos
\int_{-1}^{1}|x^{5}|\,dx=\tfrac{1}{3} \quad\text{e}\quad \bigl|\!\int_{-1}^{1}x^{5}\,dx\bigr|=0,
portanto a igualdade proposta
\int_{-1}^{1}|x^{5}|\,dx =\Bigl|\int_{-1}^{1}x^{5}\,dx\Bigr|
é falsa. De fato, vale em geral
\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx \ge \Bigl|\int_{a}^{b}f(x)\,dx\Bigr|.

Resposta

A igualdade é falsa.

Exercícios relacionados