Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
\operatorname{Se} \int_{a}^{b} f(x) d x=0, então \int_{a}^{b}|f(x)| d x=0.

Passo 1

O enunciado pergunta se sempre vale que, para uma função integrável f em [a,b],
\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0
implica
\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx=0.
O conteúdo envolvido é a relação entre a integral de uma função e a integral de seu valor absoluto e uso de contraexemplo.

Passo 2

Para refutar a proposição, basta apresentar uma função f cuja integral seja zero, mas cuja integral do valor absoluto seja positiva. Um exemplo clássico é
f(x)=\sin x
no intervalo [0,2\pi].

Passo 3

Calculamos a integral de f(x)=\sin x em [0,2\pi]:
\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx =\bigl[-\cos x\bigr]_{0}^{2\pi} =-\cos(2\pi)+\cos(0) =-1+1 =0.

Passo 4

Agora calculamos a integral de |\sin x| em [0,2\pi]. Sabe-se que |\sin x| é positivo exceto nos pontos em que \sin x=0, e a área total vale
\int_{0}^{2\pi}|\sin x|\,dx =4.

Passo 5

Como encontramos \int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=0 mas \int_{0}^{2\pi}|\sin x|\,dx=4>0, a implicação não vale para toda f. Logo, a proposição é falsa.

Resposta

A proposição é falsa, por exemplo com f(x)=\sin x em [0,2\pi].

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