Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
, então
.
Passo 1
O enunciado pergunta se sempre vale que, para uma função integrável
em
,
implica
O conteúdo envolvido é a relação entre a integral de uma função e a integral de seu valor absoluto e uso de contraexemplo.
Passo 2
Para refutar a proposição, basta apresentar uma função
cuja integral seja zero, mas cuja integral do valor absoluto seja positiva. Um exemplo clássico é
no intervalo
.
Passo 3
Calculamos a integral de
em
:
Passo 4
Agora calculamos a integral de
em
. Sabe-se que
é positivo exceto nos pontos em que
, e a área total vale
Passo 5
Como encontramos
mas
, a implicação não vale para toda
. Logo, a proposição é falsa.
Resposta
A proposição é falsa, por exemplo com
em
.