Em cada item abaixo, decida se a proposição dada é falsa ou verdadeira, escreva a justificativa:
Se f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} e g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} são funções contínuas, então
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=\int_{a}^{b} f(x) d x \int_{a}^{b} g(x) d x

Passo 1

O enunciado afirma que, para duas funções contínuas f,g:[a,b]\to\mathbb{R}, vale sempre a igualdade
\int_{a}^{b} f(x)\,g(x)\,dx \;=\;\Bigl(\int_{a}^{b} f(x)\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{a}^{b} g(x)\,dx\Bigr).
O conteúdo envolvido é integração de funções reais e suas propriedades: linearidade, mas não multiplicatividade.

Passo 2

Em geral, a integral de um produto de funções não se separa em produto de integrais. A linearidade da integral diz que
\int (f+g)=\int f + \int g \quad\text{e}\quad \int (c\,f)=c\int f,
mas não existe uma fórmula que transforme \int f\,g em \int f\cdot\int g salvo casos especiais.

Passo 3

Para ver que a proposição é falsa, basta um contra-exemplo simples. Tomemos
f(x)=x \quad\text{e}\quad g(x)=x
no intervalo [0,1]. Note que ambas são contínuas em [0,1].

Passo 4

Calculamos os dois lados da igualdade:
\int_{0}^{1} f(x)\,g(x)\,dx =\int_{0}^{1} x^2\,dx =\Bigl[\tfrac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{3},
enquanto
\int_{0}^{1} f(x)\,dx =\int_{0}^{1} x\,dx =\Bigl[\tfrac{x^2}{2}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{2},
logo
\Bigl(\int_{0}^{1} f(x)\,dx\Bigr)\,\Bigl(\int_{0}^{1} g(x)\,dx\Bigr) =\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{1}{4}.
Como \tfrac{1}{3}\neq\tfrac{1}{4}, a igualdade proposta falha.

Resposta

A proposição é falsa. A justificativa é o contra-exemplo f(x)=g(x)=x em [0,1], que mostra \displaystyle\int_{0}^{1}x^2\,dx=\tfrac{1}{3}\neq\tfrac{1}{4}=\bigl(\int_{0}^{1}x\,dx\bigr)^2.

Exercícios relacionados