Calcule
\int_{-1}^{5}|2 x-1| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{5}\bigl|2x-1\bigr|\,dx
que envolve valor absoluto. O conteúdo aqui é integração por partes definidas, onde vamos quebrar o domínio no ponto em que o argumento do valor absoluto muda de sinal.

Passo 2

Encontramos onde 2x-1=0, isto é,
2x-1=0\quad\Longrightarrow\quad x=\frac12.
Para x<\tfrac12 temos 2x-1<0, logo \lvert2x-1\rvert=1-2x. Para x>\tfrac12 temos 2x-1>0, logo \lvert2x-1\rvert=2x-1.

Passo 3

Com base nisso, dividimos a integral em duas partes:
\int_{-1}^{5}\lvert2x-1\rvert\,dx = \int_{-1}^{\frac12}(1-2x)\,dx + \int_{\frac12}^{5}(2x-1)\,dx.

Passo 4

Calculamos cada integral separadamente.
A antiderivada de 1-2x é x - x^2. Logo,
\int_{-1}^{\frac12}(1-2x)\,dx = \bigl[x - x^2\bigr]_{-1}^{\frac12} = \Bigl(\tfrac12 - \tfrac14\Bigr) - \bigl(-1 - 1\bigr) = \tfrac14 + 2 = \tfrac{9}{4}.
A antiderivada de 2x-1 é x^2 - x. Logo,
\int_{\frac12}^{5}(2x-1)\,dx = \bigl[x^2 - x\bigr]_{\frac12}^{5} = \bigl(25 - 5\bigr) - \Bigl(\tfrac14 - \tfrac12\Bigr) = 20 + \tfrac14 = \tfrac{81}{4}.

Passo 5

Somando as duas parcelas,
\tfrac{9}{4} + \tfrac{81}{4} = \tfrac{90}{4} = \tfrac{45}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{45}{2}

Exercícios relacionados