A equação de Clausius-Clapeyron para o equilíbrio líquido-vapor é
\frac{d \ln (p)}{d T}=\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R T^{2}}
Se a entalpia de vaporização \Delta H_{\text {vap }} for constante na faixa de temperatura T_{1} a T_{2}, integrando ambos os lados da equação em relação a T, mostre que
\ln \left(\frac{p_{2}}{p_{1}}\right)=\frac{\Delta H_{\text {vap }}}{R}\left(\frac{1}{T_{1}}-\frac{1}{T_{2}}\right)
em que p_{1}=p\left(T_{1}\right) e p_{2}=p\left(T_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Clausius–Clapeyron para equilíbrio líquido–vapor
\frac{d \ln(p)}{dT} = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R\,T^{2}}
e pede que, supondo \Delta H_{\mathrm{vap}} constante entre T_{1} e T_{2}, integremos essa equação para obter
\ln\!\biggl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\biggr) = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}\Bigr).
O conteúdo aqui é resolução de uma equação diferencial separável por integração.

Passo 2

Separamos variáveis escrevendo
d \ln(p) = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\,\frac{dT}{T^{2}}.
Assim, para passar de T_{1} a T_{2} acompanhamos p de p_{1}=p(T_{1}) a p_{2}=p(T_{2}).

Passo 3

Integramos os dois lados nos limites indicados:
\int_{p_{1}}^{p_{2}} d\ln(p) = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\int_{T_{1}}^{T_{2}} \frac{dT}{T^{2}}.
O lado esquerdo dá
\int_{p_{1}}^{p_{2}} d\ln(p) = \ln(p_{2}) - \ln(p_{1}) = \ln\!\bigl(\tfrac{p_{2}}{p_{1}}\bigr),
e o direito, usando \int T^{-2}dT = -T^{-1}, fica
\frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\Bigl[-\frac{1}{T}\Bigr]_{T_{1}}^{T_{2}} = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\Bigl(-\frac{1}{T_{2}} + \frac{1}{T_{1}}\Bigr) = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}\Bigr).

Resposta

\ln\!\biggl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\biggr) = \frac{\Delta H_{\mathrm{vap}}}{R}\Bigl(\tfrac{1}{T_{1}} - \tfrac{1}{T_{2}}\Bigr).

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