Em cada item abaixo definimos em R^2 operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais R^2 não é um espaço vetorial. Mostre (através de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, 2 y1+2 y2)
alpha(x, y)=(alpha x, alpha y)

Passo 1

O enunciado define em R^2 a soma e a multiplicação por escalar assim:
(x1,y1)+(x2,y2) = (,x1+x2,;2y1+2y2,),
alpha,(x,y) = (alpha x,;alpha y)
Queremos mostrar que não é espaço vetorial, dando contra-exemplos para algumas propriedades axiomáticas que falham.

Passo 2

Verificamos a existência de elemento neutro para a soma. Suponha que exista e=(a,b) tal que para todo (x,y)
(x,y)+ (a,b) = (x,y)
Isso daria
(x+a,;2y+2b) = (x,y)
Da primeira coordenada vem a=0. Da segunda, 2y+2b=y para todo y, isto é,
2b = y - 2y = -y,
o que é impossível ser constante para todos y. Logo não existe vetor neutro, e a propriedade de existência de elemento identidade aditiva falha.

Passo 3

Mostramos que a soma não é associativa. Tomemos, por exemplo,
u=(0,1), v=(0,1), w=(0,1)
Compute
(u+v)+w = (,0+0,;2cdot1+2cdot1)+ (0,1) = (0,4)+(0,1) = (,0+0,;2cdot4+2cdot1) = (0,10),
enquanto
u+(v+w) = (0,1)+l((0,1)+(0,1)r) = (0,1)+(0,4) = (,0+0,;2cdot1+2cdot4) = (0,10)
Oops, esse exemplo deu igual – vamos ajustar os números. Em vez de todos iguais, use
u=(0,1), v=(0,2), w=(0,3)
Então
u+v = (0,2+4)=(0,6), (u+v)+w=(0,6)+(0,3)=(0,2cdot6+2cdot3)=(0,18),
enquanto
v+w=(0,4+6)=(0,10), u+(v+w)=(0,1)+(0,10)=(0,2cdot1+2cdot10)=(0,22)
Como (u+v)+wneq u+(v+w), a soma não é associativa.

Passo 4

Verificamos a distributividade da multiplicação sobre soma de escalares. Pegue um vetor genérico (x,y) e dois escalares alpha,beta. De um lado,
(alpha+beta),(x,y) = l((alpha+beta)x,;(alpha+beta)yr)
Do outro,
alpha(x,y)+beta(x,y) = (alpha x,alpha y)+(beta x,beta y) = l(alpha x+beta x,;2alpha y+2beta yr) = l((alpha+beta)x,;2(alpha+beta)yr)
Em geral (alpha+beta)y neq 2(alpha+beta)y (por exemplo, escolha yneq0), logo
(alpha+beta)(x,y);neq;alpha(x,y)+beta(x,y)
Portanto falha a propriedade ;(alpha+beta),v = alpha v + beta v.

Resposta

As propriedades que não se satisfazem são, por exemplo:
  1. Não existe elemento neutro para a soma (não há 0);
  2. A soma não é associativa;
  3. Falha a distributividade da multiplicação sobre soma de escalares, (alpha+beta)v neq alpha v + beta v.

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