Em cada item abaixo definimos em
operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais
não é um espaço vetorial. Mostre (através de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
Passo 1
O enunciado define em
a soma e a multiplicação por escalar assim:
Queremos mostrar que não é espaço vetorial, dando contra-exemplos para algumas propriedades axiomáticas que falham.
Passo 2
Verificamos a existência de elemento neutro para a soma. Suponha que exista
tal que para todo
Isso daria
Da primeira coordenada vem
. Da segunda,
para todo
, isto é,
o que é impossível ser constante para todos
. Logo não existe vetor neutro, e a propriedade de existência de elemento identidade aditiva falha.
Passo 3
Mostramos que a soma não é associativa. Tomemos, por exemplo,
Compute
enquanto
Oops, esse exemplo deu igual – vamos ajustar os números. Em vez de todos iguais, use
Então
enquanto
Como
, a soma não é associativa.
Passo 4
Verificamos a distributividade da multiplicação sobre soma de escalares. Pegue um vetor genérico
e dois escalares
. De um lado,
Do outro,
Em geral
(por exemplo, escolha
), logo
Portanto falha a propriedade
.
Resposta
As propriedades que não se satisfazem são, por exemplo:
- Não existe elemento neutro para a soma (não há
); - A soma não é associativa;
- Falha a distributividade da multiplicação sobre soma de escalares,
.