Seja V=(1, x, 2) ; x in R munido das operações:
(1, x1, 2)+(1, x2, 2)=(1, x1+x2, 2), forall(1, x1, 2),(1, x2, 2) in V
alpha(1, x, 2)=(1, alpha x, 2), forall alpha in R, forall(1, x, 2) in V.
Mostre que V é um espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = (1,x,2)mid xinR
com as operações
(1,x1,2)+(1,x2,2) = (1,,x1+x2,,2),
alpha,(1,x,2) = (1,,alpha x,,2)
Queremos mostrar que V é um espaço vetorial sobre R, isto é, verificar as propriedades usuais de adição e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação da adição em V:
  1. Fechamento: Se v1=(1,x1,2) e v2=(1,x2,2) estão em V, então
v1+v2 = (1,x1+x2,2)
Como x1+x2inR, temos v1+v2in V.
2. Comutatividade:
v1+v2 = (1,x1+x2,2) = (1,x2+x1,2) = v2+v1
  1. Associatividade: Para v3=(1,x3,2),
(v1+v2)+v3 = (1,(x1+x2)+x3,2) e v1+(v2+v3) = (1,x1+(x2+x3),2),
mas (x1+x2)+x3 = x1+(x2+x3), logo são iguais.

Passo 3

Elemento neutro e inverso aditivo em V:
  1. Neutro: Seja 0V=(1,0,2). Então para todo v=(1,x,2)in V,
v+0V = (1,x+0,2) = (1,x,2) = v
  1. Inverso: Para v=(1,x,2), o inverso aditivo é -v=(1,-x,2) pois
v + (-v) = (1,x,2) + (1,-x,2) = (1,x-x,2) = (1,0,2) = 0V

Passo 4

Verificação da multiplicação escalar em V:
  1. Fechamento: Se alphainR e v=(1,x,2)in V, então
alpha,v = (1,alpha x,2)in V
pois alpha xinR.
2. Identidade escalar:
1cdot v = (1,1cdot x,2) = (1,x,2) = v
  1. Associatividade de escalares: Para alpha,betainR,
(alphabeta),v = (1,(alphabeta)x,2) e alpha,(beta,v) = alpha,(1,beta x,2) = (1,alpha(beta x),2),
mas (alphabeta)x=alpha(beta x).

Passo 5

Distributividade:
  1. alpha,(v1+v2):
v1+v2 = (1,x1+x2,2),
logo
alpha,(v1+v2) = (1,alpha(x1+x2),2) = (1,alpha x1+alpha x2,2)
Por outro lado,
alpha,v1 + alpha,v2 = (1,alpha x1,2)+(1,alpha x2,2) = (1,alpha x1+alpha x2,2)
  1. (alpha+beta),v:
(alpha+beta),v = (1,(alpha+beta)x,2) = (1,alpha x+beta x,2),
e
alpha,v + beta,v = (1,alpha x,2)+(1,beta x,2) = (1,alpha x+beta x,2)

Resposta

Como todas as propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso, fechamento escalar, identidade escalar, associatividade escalar e distributividade) estão satisfeitas, concluímos que V é um espaço vetorial sobre R.

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