Seja
munido das operações:
.
Mostre que
é um espaço vetorial sobre o corpo
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o conjunto
com as operações
Queremos mostrar que
é um espaço vetorial sobre
, isto é, verificar as propriedades usuais de adição e multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação da adição em
:
- Fechamento: Se
e estão em , então
Como
, temos
.
2. Comutatividade:
2. Comutatividade:
- Associatividade: Para
,
mas
, logo são iguais.
Passo 3
Elemento neutro e inverso aditivo em
:
- Neutro: Seja
. Então para todo ,
- Inverso: Para
, o inverso aditivo é pois
Passo 4
Verificação da multiplicação escalar em
:
- Fechamento: Se
e , então
pois
.
2. Identidade escalar:
2. Identidade escalar:
- Associatividade de escalares: Para
,
mas
.
Passo 5
Distributividade:
-
:
logo
Por outro lado,
-
:
e
Resposta
Como todas as propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro, inverso, fechamento escalar, identidade escalar, associatividade escalar e distributividade) estão satisfeitas, concluímos que
é um espaço vetorial sobre
.