Em cada item abaixo definimos em R^2 operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais R^2 não é um espaço vetorial. Mostre (através de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2)
alpha(x, y)=(alpha y, alpha x)

Passo 1

O enunciado define em R^2 a adição usual
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,;y1+y2)
e a multiplicação por escalar
alpha(x,y)=(alpha y,;alpha x)
Queremos mostrar por contraexemplos quais axiomas de espaço vetorial falham com essa definição.

Passo 2

Entre os axiomas de multiplicação por escalar num espaço vetorial temos, em particular:
1. alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
2. (alpha+beta)v=alpha v+beta v.
3. (alphabeta)v=alpha(beta v).
4. 1cdot v=v (identidade escalar).
5. 0cdot v=0 (anulador escalar).
Devemos testar qual(is) desses não se cumprem.

Passo 3

Verificamos a identidade escalar 1cdot v=v. Para v=(x,y):
1cdot(x,y)=(1cdot y,;1cdot x)=(y,x)
Em geral (y,x)neq(x,y) a menos que x=y. Por exemplo, tome v=(1,2). Então
1cdot(1,2)=(2,1)neq(1,2)
Logo o axioma 1cdot v=v falha.

Passo 4

Os demais axiomas de distributividade e associatividade de escalares podem ser verificados e, nesse caso, não quebram. O único axioma que não é satisfeito é o da identidade escalar.

Resposta

A propriedade de espaço vetorial que falha é
1cdot v = v,
pois, por exemplo, para v=(1,2) temos 1cdot(1,2)=(2,1)neq(1,2).

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