Em cada item abaixo definimos em
operações de adição de vetores e de multiplicação por escalar com as quais
não é um espaço vetorial. Mostre (através de contra-exemplos), em cada caso, quais propriedades de espaços vetoriais não são atendidas pelas operações dadas:
Passo 1
O enunciado define em
a adição usual
e a multiplicação por escalar
Queremos mostrar por contraexemplos quais axiomas de espaço vetorial falham com essa definição.
Passo 2
Entre os axiomas de multiplicação por escalar num espaço vetorial temos, em particular:
.
.
.
.
.
.
.
(identidade escalar).
.
(anulador escalar).
Devemos testar qual(is) desses não se cumprem.
Passo 3
Verificamos a identidade escalar
. Para
:
Em geral
a menos que
. Por exemplo, tome
. Então
Logo o axioma
falha.
Passo 4
Os demais axiomas de distributividade e associatividade de escalares podem ser verificados e, nesse caso, não quebram. O único axioma que não é satisfeito é o da identidade escalar.
Resposta
A propriedade de espaço vetorial que falha é
pois, por exemplo, para
temos
.