Em
, mantenhamos a definição do produto
de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma
dos vetores
e
. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
Passo 1
Resumo do enunciado: no espaço
mantemos a multiplicação escalar usual, mas redefinimos a soma por
O objetivo é verificar para quais dos axiomas de espaço vetorial essa nova soma continua válida e para quais ela falha.
Passo 2
Verificação da comutatividade da soma: para
e
temos
Em geral
. Logo, a comutatividade da soma é violada.
Passo 3
Verificação da associatividade da soma: seja
.
Calculemos e
:
Calculemos
-
, então
-
, então
Como
em geral, a associatividade da soma é violada.
Passo 4
Existência do elemento neutro para a soma: buscamos
tal que para todo
Isto exige
e
para todo
, impossível pois
não pode depender de
. Logo, não existe vetor nulo.
Passo 5
Existência de inverso aditivo: mesmo sem neutro bem definido não faz sentido achar
que satisfaça
. Portanto, não existem inversos aditivos válidos.
Passo 6
Axiomas envolvendo multiplicação escalar ficariam assim:
- Fechamento em
: mantido, pois é a ação usual. -
: vale, pois
e
. -
, e : todos válidos, por serem as propriedades usuais de .
Resposta
A nova operação de soma vira um fecho, mas falha nos axiomas que tornam
um grupo abeliano:
- Válidos:
fechamento da soma, fechamento da multiplicação escalar,
, ,
, . - Violados:
comutatividade da soma, associatividade da soma,
existência de vetor nulo, existência de inverso aditivo.