Em R^2, mantenhamos a definição do produto alpha v de um número por um vetor mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma u+v dos vetores u=(x1, y1) e v=(x2, y2). Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos e quais são violados:
u+v=(x1+y2, x2+y1)

Passo 1

Resumo do enunciado: no espaço R^2 mantemos a multiplicação escalar usual, mas redefinimos a soma por
u+v=(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+y2,;x2+y1)
O objetivo é verificar para quais dos axiomas de espaço vetorial essa nova soma continua válida e para quais ela falha.

Passo 2

Verificação da comutatividade da soma: para u=(x1,y1) e v=(x2,y2) temos
u+v=(x1+y2,;x2+y1), v+u=(x2+y1,;x1+y2)
Em geral (x1+y2,;x2+y1)neq(x2+y1,;x1+y2). Logo, a comutatividade da soma é violada.

Passo 3

Verificação da associatividade da soma: seja w=(x3,y3).
Calculemos (u+v)+w e u+(v+w):
  1. u+v=(x1+y2,;x2+y1), então
(u+v)+w=l((x1+y2)+y3,;(x2+y1)+x3r) =(x1+y2+y3,;x2+y1+x3)
  1. v+w=(x2+y3,;x3+y2), então
u+(v+w)=l(x1+(x3+y2),;y1+(x2+y3)r) =(x1+x3+y2,;y1+x2+y3)
Como x1+y2+y3neq x1+x3+y2 em geral, a associatividade da soma é violada.

Passo 4

Existência do elemento neutro para a soma: buscamos 0=(a,b) tal que para todo u=(x1,y1)
u+0=(x1+b,;x2+a)=(x1,y1)
Isto exige b=0 e x2+a=y1 para todo x2,y1, impossível pois a não pode depender de u. Logo, não existe vetor nulo.

Passo 5

Existência de inverso aditivo: mesmo sem neutro bem definido não faz sentido achar -u que satisfaça u+(-u)=0. Portanto, não existem inversos aditivos válidos.

Passo 6

Axiomas envolvendo multiplicação escalar ficariam assim:
  • Fechamento em alpha v: mantido, pois é a ação usual.
  • alpha(u+v)=alpha u+alpha v: vale, pois
    alpha(u+v)=(alpha(x1+y2),alpha(x2+y1)) e
    alpha u+alpha v=(alpha x1+alpha y2,;alpha x2+alpha y1).
  • (alpha+beta)v=alpha v+beta v, alpha(beta v)=(alphabeta)v e 1cdot v=v: todos válidos, por serem as propriedades usuais de R^2.

Resposta

A nova operação de soma vira um fecho, mas falha nos axiomas que tornam (R^2,+) um grupo abeliano:
  • Válidos:
    fechamento da soma, fechamento da multiplicação escalar,
    alpha(u+v)=alpha u+alpha v, (alpha+beta)v=alpha v+beta v,
    alpha(beta v)=(alphabeta)v, 1cdot v=v.
  • Violados:
    comutatividade da soma, associatividade da soma,
    existência de vetor nulo, existência de inverso aditivo.

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