Sejam W1=(x, y, z, t) in R^4 ; x+y=0 e z+t=0 e W2=(x, y, z, t) in R^4 ; x-y+z=0 e t=0 subespaços de R^4.
Exiba uma base e a dimensão de W1+W2. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado define dois subespaços de R^4:
W1=(x,y,z,t)inR^4mid x+y=0,;z+t=0 e
W2=(x,y,z,t)inR^4mid x-y+z=0,;t=0.
Queremos achar uma base e a dimensão de W1+W2. Para isso vamos parametrizar cada subespaço, obter suas bases e dimensões, determinar dim(W1cap W2) e usar a fórmula
dim(W1+W2)=dim W1+dim W2-dim(W1cap W2)

Passo 2

Para W1 temos as equações
x+y=0,
z+t=0
Daí y=-x e t=-z, logo
W1=(x,-x,z,-z)mid x,zinR =span(1,-1,0,0),,(0,0,1,-1)
Portanto
dim W1=2

Passo 3

Para W2 as equações são
x - y + z = 0,
t=0
Da primeira vem x=y-z e da segunda t=0, logo
W2=(y-z,y,z,0)mid y,zinR =span(1,1,0,0),,(-1,0,1,0)
Assim
dim W2=2

Passo 4

Para achar W1cap W2 pegamos um vetor genérico de W1, (x,-x,z,-z), e impomos as condições de W2:
t=0implies -z=0implies z=0,
x - y + z=0implies x-(-x)+0=0implies 2x=0implies x=0
Só sobra o vetor nulo, logo
W1cap W2=0 Longrightarrow dim(W1cap W2)=0

Passo 5

Usando a fórmula da dimensão da soma,
dim(W1+W2) =dim W1+dim W2-dim(W1cap W2) =2+2-0=4
Como R^4 tem dimensão 4, segue que
W1+W2=R^4

Passo 6

Uma base de W1+W2=R^4 pode ser obtida unindo as bases de W1 e W2. Por exemplo,
(1,-1,0,0),,(0,0,1,-1),,(1,1,0,0),,(-1,0,1,0)
são quatro vetores linearmente independentes em R^4 que geram W1+W2, logo formam uma base.

Resposta

Base de W1+W2:
(1,-1,0,0),,(0,0,1,-1),,(1,1,0,0),,(-1,0,1,0).
Dimensão de W1+W2: ;4.

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