Sejam
e
e
e
subespaços de
.
Exiba uma base e a dimensão de
. Justifique sua resposta.
Exiba uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define dois subespaços de
:
e
.
Queremos achar uma base e a dimensão de . Para isso vamos parametrizar cada subespaço, obter suas bases e dimensões, determinar
e usar a fórmula
Queremos achar uma base e a dimensão de
Passo 2
Para
temos as equações
Daí
e
, logo
Portanto
Passo 3
Para
as equações são
Da primeira vem
e da segunda
, logo
Assim
Passo 4
Para achar
pegamos um vetor genérico de
,
, e impomos as condições de
:
Só sobra o vetor nulo, logo
Passo 5
Usando a fórmula da dimensão da soma,
Como
tem dimensão 4, segue que
Passo 6
Uma base de
pode ser obtida unindo as bases de
e
. Por exemplo,
são quatro vetores linearmente independentes em
que geram
, logo formam uma base.
Resposta
Base de
:
.
Dimensão de :
.
Dimensão de