Seja V=P2. Verifique se os subconjuntos W de V são subespaços. Justifique suas respostas.
W=p(x) in P2 ; p(0)=0.

Passo 1

O enunciado define V= P2, o espaço vetorial de polinômios de grau até 2, e o subconjunto
W = ,p(x)in P2 mid p(0)=0
Para mostrar que W é subespaço de V basta verificar três propriedades:
  1. W não é vazio (contém o vetor zero).
  2. W é fechado sob soma: se p,qin W então p+qin W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se pin W e alpha é escalar então alpha pin W.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio exibindo o polinômio zero p(x)=0. Como p(0)=0, segue que 0in W.

Passo 3

Sejam p,qin W. Então p(0)=0 e q(0)=0. Logo
(p+q)(0)=p(0)+q(0)=0+0=0,
o que implica p+qin W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 4

Seja alpha um escalar e pin W. Como p(0)=0, temos
(alpha p)(0)=alpha,p(0)=alphacdot 0=0,
portanto alpha pin W. Assim W é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

W é subespaço de P2.

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