Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
c)
, superfícies de nível
.
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis:
. Precisamos fazer três coisas para cada um dos valores de
dados (
,
, e
):
- Determinar o domínio da função: onde a função está definida.
- Escrever a equação das superfícies de nível: as “cortes” da função onde ela assume um valor constante
. - Fazer um esboço no espaço
: visualizar como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.
Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e superfícies de nível em matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
.
Domínio é o conjunto de todos os valores de
,
e
para os quais a função está definida. A função exponencial
está definida para qualquer número real
. No nosso caso,
, que também pode ser qualquer real, já que
,
e
podem ser quaisquer números reais.
Portanto, o domínio da função é todo o espaço tridimensional (
).
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação das superfícies de nível para cada valor de
.
Uma superfície de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante
. Ou seja, resolvemos
.
Vamos fazer isso para cada
:
-
Para
: Temos:Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar:Então, a equação da superfície de nível é: -
Para
: Aplicando o logaritmo natural:Então, a equação da superfície de nível é: -
Para
: Aplicando o logaritmo natural:Então, a equação da superfície de nível é:
Passo 4
Por último, vamos esboçar as superfícies de nível no espaço
.
As equações que obtivemos são:
Essas são superfícies quadráticas chamadas de hiperbólicas, já que possuem termos quadráticos com sinais diferentes.
-
Primeira superfície (
): Essa é uma hipérbole comumente aberta ao longo do eixo. -
Segunda superfície (
): Também é uma hipérbole, mas com a abertura invertida devido ao sinal negativo. -
Terceira superfície (
): Semelhante à segunda, mas com um valor maior no lado direito, o que afasta ainda mais a superfície do centro.
No esboço, você veria três hiperbólicas com diferentes aberturas e posições no espaço
, refletindo os diferentes valores de
.
Resposta
O domínio da função
é todo o espaço tridimensional (
). As equações das superfícies de nível para
,
, e
são, respectivamente:
Essas superfícies são hiperbólicas no espaço
, cada uma com diferentes aberturas e posições conforme o valor de
.