Para cada item abaixo,
(i) determine o domínio da função;
(ii) escreva a equaç̧ão para as superfícies de nível da função;
(iii) Faça um esboço no espaço xyz das superfícies de nível.
c) f(x, y, z)=e^-x^2-2 y^2+3 z^2, superfícies de nível k=1 / e, e, e^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício! O que a gente tem aqui é uma função de três variáveis: . Precisamos fazer três coisas para cada um dos valores de dados ( , , e ):
  1. Determinar o domínio da função: onde a função está definida.
  2. Escrever a equação das superfícies de nível: as “cortes” da função onde ela assume um valor constante .
  3. Fazer um esboço no espaço : visualizar como essas superfícies se comportam no espaço tridimensional.
Para isso, vamos usar conceitos de funções exponenciais e superfícies de nível em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função .
Domínio é o conjunto de todos os valores de , e para os quais a função está definida. A função exponencial está definida para qualquer número real . No nosso caso, , que também pode ser qualquer real, já que , e podem ser quaisquer números reais.
Portanto, o domínio da função é todo o espaço tridimensional ( ).

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação das superfícies de nível para cada valor de e^-x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 1e .
Uma superfície de nível é o conjunto de pontos -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = ln(1e) = -1 onde a função -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = -1 Rightarrow x^2 + 2y^2 - 3z^2 = 1 assume um valor constante e^-x^2 - 2y^2 + 3z^2 = e . Ou seja, resolvemos -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 1 .
Vamos fazer isso para cada -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 1 Rightarrow x^2 + 2y^2 - 3z^2 = -1 :
  1. Para e^-x^2 - 2y^2 + 3z^2 = e^2 :
    Temos:
    -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 2
    Vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados para simplificar:
    -x^2 - 2y^2 + 3z^2 = 2 Rightarrow x^2 + 2y^2 - 3z^2 = -2
    Então, a equação da superfície de nível é:
  2. Para :
    Aplicando o logaritmo natural:
    Então, a equação da superfície de nível é:
  3. Para :
    Aplicando o logaritmo natural:
    Então, a equação da superfície de nível é:

Passo 4

Por último, vamos esboçar as superfícies de nível no espaço .
As equações que obtivemos são:
Essas são superfícies quadráticas chamadas de hiperbólicas, já que possuem termos quadráticos com sinais diferentes.
  • Primeira superfície ( ):
    Essa é uma hipérbole comumente aberta ao longo do eixo .
  • Segunda superfície ( ):
    Também é uma hipérbole, mas com a abertura invertida devido ao sinal negativo.
  • Terceira superfície ( ):
    Semelhante à segunda, mas com um valor maior no lado direito, o que afasta ainda mais a superfície do centro.
No esboço, você veria três hiperbólicas com diferentes aberturas e posições no espaço , refletindo os diferentes valores de .

Resposta

O domínio da função é todo o espaço tridimensional ( ). As equações das superfícies de nível para , , e são, respectivamente:
Essas superfícies são hiperbólicas no espaço , cada uma com diferentes aberturas e posições conforme o valor de .

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