Seja o campo F(x, y, z)=(-2 x+sin (z^3), 4 y, x^3+6 z) e a superfície aberta
mathscrS: y^2=x^2+z^2,(0 <= y <= 3),
orientada de modo que o seu vetor normal exterior tenha segunda componente negativa. Determine o fluxo de F através de mathscrS:

Passo 1

Vamos calcular o fluxo de vec F(x,y,z)=(-2x+sin(z^3),,4y,,x^3+6z) através da superfície aberta mathscr S:,y^2=x^2+z^2,;0<= y<=3, com orientação externa (isto é, normal com segunda componente negativa). O conteúdo principal é usar o Teorema da Divergência fechando mathscr S com o disco em y=3.

Passo 2

Primeiro, encontramos a divergência de vec F:
nablacdotvec F = partialpartial x(-2x+sin(z^3))+partialpartial y(4y)+partialpartial z(x^3+6z) = -2 + 4 + 6 = 8

Passo 3

Agora definimos o volume V limitado por mathscr S (cone lateral) e pelo disco superior D:,y=3,;x^2+z^2<=9. Pelo Teorema da Divergência:
integral duplapartial Vvec Fcdot dvec S = integral triplaV(nablacdotvec F),dV
A superfície fechada partial V é mathscr S orientada externamente mais o disco D também externamente. Começamos com o volume:
Em cada altura yin[0,3], a seção em x!z-plano é um disco de raio r=y, área pi y^2. Logo
Vol(V)=integral0^3pi y^2,dy=piy^33|0^3=9pi,
então
integral triplaV(nablacdotvec F),dV = 8cdot 9pi = 72pi

Passo 4

Agora calculamos o fluxo através do disco superior D. Nele y=3 e o normal externo ao volume é hat n=(0,1,0). Assim
vec F|y=3=( -2x+sin(z^3),,4cdot3,,x^3+6z ) =(dots,12,dots),
logo
PhiD=integral duplaDvec Fcdothat n,dS = integral duplaD 12,dA =12cdot picdot3^2 =108pi

Passo 5

Pelo Teorema da Divergência:
Phimathscr S+PhiD = integral triplaV(nablacdotvec F),dV,
isto é
Phimathscr S = 72pi - 108pi = -36pi
Este resultado corresponde ao fluxo em mathscr S com a normal externa (segunda componente negativa), exatamente o que se pedia.

Resposta

-36\pi

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