Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos (1,0,0),(1,2,1), (0,2,1) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
F(x, y, z)=z^2 i+2 x y j+4 y^2 k
Utilize o Teorema de Stokes para encontrar o trabalho feito.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntinhos! A gente precisa encontrar o trabalho feito por uma força que atua sobre uma partícula que se move por certos pontos no espaço. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície. Então, vamos precisar entender o campo de força dado, o caminho que a partícula percorre e aplicar o Teorema de Stokes para achar o trabalho final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o campo de força:
F(x, y, z) = z^2 i + 2xy j + 4y^2 k
Esse campo descreve como a força varia em cada ponto (x, y, z) no espaço.

Passo 3

O caminho que a partícula percorre é formado pelos segmentos de reta entre os pontos: origem (0,0,0), (1,0,0), (1,2,1), (0,2,1) e de volta para a origem. Esse caminho é fechado, o que nos permite aplicar o Teorema de Stokes.

Passo 4

Vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS,
onde C é a curva fechada, S é a superfície delimitada por C, nabla times F é o rotacional de F, e n é o vetor normal à superfície.

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de F:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z z^2 & 2xy & 4y^2
Calculando cada componente:
  • Componente i:
partialpartial y(4y^2) - partialpartial z(2xy) = 8y - 0 = 8y
  • Componente j:
partialpartial z(z^2) - partialpartial x(4y^2) = 2z - 0 = 2z
  • Componente k:
partialpartial x(2xy) - partialpartial y(z^2) = 2y - 0 = 2y
Então,
nabla times F = 8y i - 2z j + 2y k

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície S que esteja limitada pelo caminho C. Para facilitar os cálculos, vamos escolher a superfície plana que fica no plano y-z, já que isso simplifica as integrais.

Passo 7

Vamos determinar o vetor normal n à superfície. Como escolhemos uma superfície plana no plano y-z, o vetor normal será na direção de i. Então, n = i.

Passo 8

Agora, aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (8y i - 2z j + 2y k) cdot i , dS = integral duplaS 8y , dS
Como a superfície está no plano y-z, a integral se torna:
integral duplaS 8y , dS = 8 integral duplaS y , dy , dz
Vamos definir os limites de integração baseados nos pontos do caminho:
  • y varia de 0 a 2.
  • z varia de 0 a 1.
Então,
8 integral0^2 integral0^1 y , dz , dy = 8 integral0^2 y [ z ]0^1 dy = 8 integral0^2 y cdot 1 , dy = 8 [ y^22 ]0^2 = 8 cdot 42 = 16

Resposta

O trabalho feito pela força é 16 unidades de trabalho.

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