Uma partícula se move ao longo de segmentos de reta da origem aos pontos , e de volta para a origem sob a influência do campo de forças
Utilize o Teorema de Stokes para encontrar o trabalho feito.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntinhos! A gente precisa encontrar o trabalho feito por uma força que atua sobre uma partícula que se move por certos pontos no espaço. Para isso, vamos usar o Teorema de Stokes, que conecta integrais de linha com integrais de superfície. Então, vamos precisar entender o campo de força dado, o caminho que a partícula percorre e aplicar o Teorema de Stokes para achar o trabalho final.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o campo de força:
Esse campo descreve como a força varia em cada ponto no espaço.
Passo 3
O caminho que a partícula percorre é formado pelos segmentos de reta entre os pontos: origem , , , e de volta para a origem. Esse caminho é fechado, o que nos permite aplicar o Teorema de Stokes.
Passo 4
Vamos lembrar o que diz o Teorema de Stokes:
onde é a curva fechada, é a superfície delimitada por , é o rotacional de , e é o vetor normal à superfície.
Agora, precisamos escolher uma superfície S que esteja limitada pelo caminho C. Para facilitar os cálculos, vamos escolher a superfície plana que fica no plano y-z, já que isso simplifica as integrais.
Passo 7
Vamos determinar o vetor normal n à superfície. Como escolhemos uma superfície plana no plano y-z, o vetor normal será na direção de i. Então, n = i.
Passo 8
Agora, aplicando o Teorema de Stokes, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (8y i - 2z j + 2y k) cdot i , dS = integral duplaS 8y , dS
Como a superfície está no plano y-z, a integral se torna:
integral duplaS 8y , dS = 8 integral duplaS y , dy , dz
Vamos definir os limites de integração baseados nos pontos do caminho:
y varia de 0 a 2.
z varia de 0 a 1.
Então,
8 integral0^2 integral0^1 y , dz , dy = 8 integral0^2 y [ z ]0^1 dy = 8 integral0^2 y cdot 1 , dy = 8 [ y^22 ]0^2 = 8 cdot 42 = 16
Resposta
O trabalho feito pela força é 16 unidades de trabalho.