Questão 6. Calcule a primeira e a segunda derivada das curvas a seguir.
\gamma(t)=\left(e^{t} \sin 3 t,\left(t^{2}+1\right)^{2} \cos 2 t\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada da curva dada. A curva é
\gamma(t)=\bigl(e^{t}\sin 3t,\,(t^{2}+1)^{2}\cos 2t\bigr).
As perguntas são:
  • Calcular \gamma'(t) (a primeira derivada, componente a componente).
  • Calcular \gamma''(t) (a segunda derivada, componente a componente).
Informações dadas que usarei diretamente:
  • A componente x(t)=e^{t}\sin 3t.
  • A componente y(t)=(t^{2}+1)^{2}\cos 2t.

Passo 2

Antes de derivar, lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma prática):
  • Derivada de função vetor é feita componente a componente: \gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, (u v)'=u'v+u v'. Isso é só multiplicar cada termo e somar com o outro derivado.
  • Regra da cadeia: se w(t)=f(g(t)) então w'(t)=f'(g(t))\cdot g'(t). Ex.: \dfrac{d}{dt}\sin(3t)=\cos(3t)\cdot 3=3\cos(3t).
  • Derivadas básicas que usarei: \frac{d}{dt}e^{t}=e^{t},\qquad \frac{d}{dt}\sin(kt)=k\cos(kt),\qquad \frac{d}{dt}\cos(kt)=-k\sin(kt),
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n t^{n-1},\qquad \frac{d}{dt}\bigl((t^{2}+1)^{2}\bigr)=2(t^{2}+1)\cdot 2t=4t(t^{2}+1).

Passo 3

Derivada da primeira componente x(t)=e^{t}\sin 3t.
Aplicando a regra do produto com u(t)=e^{t} e v(t)=\sin 3t:
u'(t)=e^{t},\qquad v'(t)=3\cos 3t.
Logo
x'(t)=u'v+u v'=e^{t}\sin 3t + e^{t}\cdot 3\cos 3t.
Fatorando e^{t},
x'(t)=e^{t}\bigl(\sin 3t + 3\cos 3t\bigr).

Passo 4

Derivada da segunda componente y(t)=(t^{2}+1)^{2}\cos 2t.
Usar produto com u(t)=(t^{2}+1)^{2} e v(t)=\cos 2t:
u'(t)=4t(t^{2}+1)\qquad\text{(pela regra da cadeia/potência)},\qquad v'(t)=-2\sin 2t.ê
Aplicando produto:
y'(t)=u'v+u v'=4t(t^{2}+1)\cos 2t + (t^{2}+1)^{2}\cdot(-2\sin 2t).
Posso escrever de forma um pouco mais compacta, fatorando 2(t^{2}+1):
y'(t)=2(t^{2}+1)\Bigl(2t\cos 2t - (t^{2}+1)\sin 2t\Bigr).

Passo 5

Juntando as duas componentes, a primeira derivada do vetor é
\gamma'(t)=\Bigl(e^{t}\bigl(\sin 3t + 3\cos 3t\bigr),\;4t(t^{2}+1)\cos 2t - 2(t^{2}+1)^{2}\sin 2t\Bigr).

Passo 6

Agora a segunda derivada: começar pela primeira componente x'(t)=e^{t}\sin 3t + 3e^{t}\cos 3t.
Derivar termo a termo. Primeiro, derivada de e^{t}\sin 3t já sabemos (é igual a x'(t) sem o fator 3), mas vamos aplicar regra do produto de novo:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}\sin 3t\bigr)=e^{t}\sin 3t + 3e^{t}\cos 3t.
Agora derivada de 3e^{t}\cos 3t: fator constante 3 e aplicar produto:
\frac{d}{dt}\bigl(3e^{t}\cos 3t\bigr)=3\bigl(e^{t}\cos 3t - 3e^{t}\sin 3t\bigr).
Somando:
x''(t)=\bigl(e^{t}\sin 3t + 3e^{t}\cos 3t\bigr) + 3\bigl(e^{t}\cos 3t - 3e^{t}\sin 3t\bigr).
Agrupando termos com e^{t}\sin 3t e e^{t}\cos 3t:
x''(t)=e^{t}\bigl(\sin 3t - 9\sin 3t\bigr) + e^{t}\bigl(3\cos 3t + 3\cos 3t\bigr).
x''(t)=e^{t}\bigl(-8\sin 3t + 6\cos 3t\bigr).
Pode também ser escrita como
x''(t)=2e^{t}\bigl(3\cos 3t - 4\sin 3t\bigr).

Passo 7

Segunda derivada da segunda componente. Parto de
y'(t)=4t(t^{2}+1)\cos 2t - 2(t^{2}+1)^{2}\sin 2t.
Para organizar, defino duas funções auxiliares:
u_{1}(t)=4t(t^{2}+1),\quad v_{1}(t)=\cos 2t,
u_{2}(t)=-2(t^{2}+1)^{2},\quad v_{2}(t)=\sin 2t,
de modo que y'(t)=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}.
Vou derivar cada parte com produto:
\frac{d}{dt}\bigl(u_{1}v_{1}\bigr)=u_{1}'v_{1}+u_{1}v_{1}',\qquad \frac{d}{dt}\bigl(u_{2}v_{2}\bigr)=u_{2}'v_{2}+u_{2}v_{2}'.
Calcular as derivadas auxiliares:
u_{1}(t)=4t^{3}+4t\quad\Rightarrow\quad u_{1}'(t)=12t^{2}+4.
v_{1}'(t)=-2\sin 2t.
u_{2}(t)=-2(t^{2}+1)^{2}\quad\Rightarrow\quad u_{2}'(t)=-8t(t^{2}+1).
v_{2}'(t)=2\cos 2t.
Agora somo tudo:
y''(t)=\bigl(12t^{2}+4\bigr)\cos 2t + u_{1}(t)\bigl(-2\sin 2t\bigr) + \bigl(-8t(t^{2}+1)\bigr)\sin 2t + u_{2}(t)\bigl(2\cos 2t\bigr).
Agrupando os termos em \cos 2t e em \sin 2t:
y''(t)=\bigl(12t^{2}+4 + 2u_{2}(t)\bigr)\cos 2t + \bigl(u_{2}'(t)-2u_{1}(t)\bigr)\sin 2t.
Substituindo u_{1} e u_{2}:
2u_{2}(t)=2\bigl(-2(t^{2}+1)^{2}\bigr)=-4(t^{2}+1)^{2},
u_{2}'(t)-2u_{1}(t)=-8t(t^{2}+1) - 8t(t^{2}+1) = -16t(t^{2}+1).
E
12t^{2}+4 -4(t^{2}+1)^{2}=4t^{2}(1-t^{2})
(ao expandir e simplificar).
Portanto
y''(t)=4t^{2}(1-t^{2})\cos 2t -16t(t^{2}+1)\sin 2t.

Passo 8

Juntando as componentes da segunda derivada em forma vetorial, obtemos
\gamma''(t)=\Bigl(e^{t}\bigl(6\cos 3t - 8\sin 3t\bigr),\;4t^{2}(1-t^{2})\cos 2t -16t(t^{2}+1)\sin 2t\Bigr).

Resposta

\gamma'(t)=\Bigl(e^{t}\bigl(\sin 3t + 3\cos 3t\bigr),\;4t(t^{2}+1)\cos 2t - 2(t^{2}+1)^{2}\sin 2t\Bigr)
\gamma''(t)=\Bigl(e^{t}\bigl(6\cos 3t - 8\sin 3t\bigr),\;4t^{2}(1-t^{2})\cos 2t -16t(t^{2}+1)\sin 2t\Bigr)

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