Questão 6. Calcule a primeira e a segunda derivada das curvas a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada da curva dada. A curva é
As perguntas são:
- Calcular
(a primeira derivada, componente a componente). - Calcular
(a segunda derivada, componente a componente).
Informações dadas que usarei diretamente:
- A componente
. - A componente
.
Passo 2
Antes de derivar, lembrar as regras que vou usar (explicadas de forma prática):
- Derivada de função vetor é feita componente a componente:
. - Regra do produto: se
e são funções, . Isso é só multiplicar cada termo e somar com o outro derivado. - Regra da cadeia: se
então . Ex.: . - Derivadas básicas que usarei:
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
Aplicando a regra do produto com
e
:
Logo
Fatorando
,
Passo 4
Derivada da segunda componente
.
Usar produto com
e
:
Aplicando produto:
Posso escrever de forma um pouco mais compacta, fatorando
:
Passo 5
Juntando as duas componentes, a primeira derivada do vetor é
Passo 6
Agora a segunda derivada: começar pela primeira componente
.
Derivar termo a termo. Primeiro, derivada de
já sabemos (é igual a
sem o fator 3), mas vamos aplicar regra do produto de novo:
Agora derivada de
: fator constante 3 e aplicar produto:
Somando:
Agrupando termos com
e
:
Pode também ser escrita como
Passo 7
Segunda derivada da segunda componente. Parto de
Para organizar, defino duas funções auxiliares:
de modo que
.
Vou derivar cada parte com produto:
Calcular as derivadas auxiliares:
Agora somo tudo:
Agrupando os termos em
e em
:
Substituindo
e
:
E
(ao expandir e simplificar).
Portanto
Passo 8
Juntando as componentes da segunda derivada em forma vetorial, obtemos