Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
x-y+z=0 e x-y-z=1

Passo 1

O enunciado dá dois planos e pede a equação paramétrica da reta que é a interseção entre eles.
Informações fornecidas:
  • Plano 1: x - y + z = 0.
  • Plano 2: x - y - z = 1.
O que se pede:
  • Determinar a equação paramétrica da reta formada pela interseção desses dois planos (ou seja, uma forma paramétrica x(t),y(t),z(t) ou vetorial (x,y,z) = \text{ponto} + t\cdot\text{direção}çã).

Passo 2

Ideia geral (sem resolver ainda): a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Para obter a equação paramétrica de uma reta precisamos de:
  1. Um vetor diretor da reta (dá a direção da reta).
  2. Um ponto qualquer sobre a reta.
Explicação curta sobre por que isto funciona: cada plano tem um vetor normal (os coeficientes de x,y,z na equação do plano). A reta de interseção está perpendicular a ambos os vetores normais, logo o vetor diretor da reta é ortogonal aos dois normais — isso significa que o vetor diretor pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) dos normais. Depois, para achar um ponto da reta, resolve-se o sistema formado pelas duas equações dos planos (duas equações em três incógnitas): obtém-se uma relação entre variáveis e escolhe-se um valor para uma delas para determinar um ponto concreto.

Passo 3

Identificar os vetores normais dos planos (peguei isso das equações dadas):
  • Para o plano x - y + z = 0, o vetor normal é \mathbf{n_1} = (1,-1,1). Aqui cada componente é o coeficiente de x,y,z respectivamente.
  • Para o plano x - y - z = 1, o vetor normal é \mathbf{n_2} = (1,-1,-1).
Explicando: se um plano tem equação \,ax+by+cz+d=0, então (a,b,c) é o vetor normal; ele aponta perpendicularmente ao plano.

Passo 4

Calcular o vetor diretor da reta como o produto vetorial \mathbf{v}=\mathbf{n_1}\times\mathbf{n_2}.
Relembrando a fórmula do produto vetorial: para \mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3) e \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \bigl(a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1\bigr).
Cada componente é a diferença dos produtos cruzados correspondentes.
Aplicando aos nossos normais:
\mathbf{n_1}\times\mathbf{n_2} = \bigl((-1)\cdot(-1) - 1\cdot(-1),\; 1\cdot1 - 1\cdot(-1),\; 1\cdot(-1) - (-1)\cdot1\bigr).
Agora calcule passo a passo cada componente:
  • Primeira componente: (-1)(-1) - 1(-1) = 1 - (-1) = 2.
  • Segunda componente: 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 1 - (-1) = 2.
  • Terceira componente: 1\cdot(-1) - (-1)\cdot1 = -1 - (-1) = 0.
Logo
\mathbf{v}=\mathbf{n_1}\times\mathbf{n_2}=(2,2,0).
Podemos simplificar (qualquer múltiplo não nulo dá a mesma direção), dividindo por 2:
\mathbf{v}=(1,1,0).
Interpretação simples: a reta tem direção em que x e y variam igualmente e z fica constante.

Passo 5

Agora precisamos de um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações dos planos. Para isso resolvemos o sistema
\begin{cases} x - y + z = 0,\\[4pt] x - y - z = 1. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira (isso elimina x e y, deixando só z):
(x - y + z) - (x - y - z) = 0 - 1.
No lado esquerdo x - y cancela, sobrando z - (-z) = 2z. No direito dá -1. Assim:
2z = -1 \quad\Rightarrow\quad z = -\tfrac{1}{2}.
Com z=-\tfrac{1}{2}, volte a uma das equações (uso a primeira):
x - y + \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y = \tfrac{1}{2}.
Isso dá uma relação entre x e y. Para obter um ponto concreto, basta escolher um valor para uma das variáveis (já que a reta é 1D). Escolho y=0 (escolha simples e válida), então
x = \tfrac{1}{2}.
Portanto um ponto na reta é
P\;\;=\;\;\left(\tfrac{1}{2},\,0,\,-\tfrac{1}{2}\right).
(obs.: poderia escolher outro y qualquer e obter outro ponto; a reta é a mesma.)]

Passo 6

Montar a equação paramétrica da reta: ponto + parâmetro × vetor diretor.
Seja t\in\mathbb{R} o parâmetro. A forma vetorial é
(x,y,z)=\left(\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{1}{2}\right)+t(1,1,0).
Isto equivale às equações paramétricas
x=\tfrac{1}{2}+t,\qquad y=t,\qquad z=-\tfrac{1}{2}.
Explicando: variando t percorre-se toda a reta; o vetor (1,1,0) dá a direção e o ponto inicial é \bigl(\tfrac12,0,-\tfrac12\bigr). Pode-se verificar rapidamente que qualquer ponto obtido assim satisfaz as duas equações dos planos (teste opcional): substituir x,y,z nas expressões dos planos traz igualdade verdadeira.

Resposta

(x,y,z)=\left(\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{1}{2}\right)+t(1,1,0)
x=\tfrac{1}{2}+t,\quad y=t,\quad z=-\tfrac{1}{2}

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