Em cada item abaixo, determine a equação paramétrica da reta obtida como interseção dos planos dados.
e
Passo 1
O enunciado dá dois planos e pede a equação paramétrica da reta que é a interseção entre eles.
Informações fornecidas:
- Plano 1:
. - Plano 2:
.
O que se pede:
- Determinar a equação paramétrica da reta formada pela interseção desses dois planos (ou seja, uma forma paramétrica
ou vetorial ).
Passo 2
Ideia geral (sem resolver ainda): a interseção de dois planos não paralelos é uma reta. Para obter a equação paramétrica de uma reta precisamos de:
- Um vetor diretor da reta (dá a direção da reta).
- Um ponto qualquer sobre a reta.
Explicação curta sobre por que isto funciona: cada plano tem um vetor normal (os coeficientes de
na equação do plano). A reta de interseção está perpendicular a ambos os vetores normais, logo o vetor diretor da reta é ortogonal aos dois normais — isso significa que o vetor diretor pode ser obtido pelo produto vetorial (cross product) dos normais. Depois, para achar um ponto da reta, resolve-se o sistema formado pelas duas equações dos planos (duas equações em três incógnitas): obtém-se uma relação entre variáveis e escolhe-se um valor para uma delas para determinar um ponto concreto.
Passo 3
Identificar os vetores normais dos planos (peguei isso das equações dadas):
- Para o plano
, o vetor normal é . Aqui cada componente é o coeficiente de respectivamente. - Para o plano
, o vetor normal é .
Explicando: se um plano tem equação
, então
é o vetor normal; ele aponta perpendicularmente ao plano.
Passo 4
Calcular o vetor diretor da reta como o produto vetorial
.
Relembrando a fórmula do produto vetorial: para
e
,
Cada componente é a diferença dos produtos cruzados correspondentes.
Aplicando aos nossos normais:
Agora calcule passo a passo cada componente:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Logo
Podemos simplificar (qualquer múltiplo não nulo dá a mesma direção), dividindo por
:
Interpretação simples: a reta tem direção em que
e
variam igualmente e
fica constante.
Passo 5
Agora precisamos de um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações dos planos. Para isso resolvemos o sistema
Subtraindo a segunda equação da primeira (isso elimina
e
, deixando só
):
No lado esquerdo
cancela, sobrando
. No direito dá
. Assim:
Com
, volte a uma das equações (uso a primeira):
Isso dá uma relação entre
e
. Para obter um ponto concreto, basta escolher um valor para uma das variáveis (já que a reta é 1D). Escolho
(escolha simples e válida), então
Portanto um ponto na reta é
(obs.: poderia escolher outro
qualquer e obter outro ponto; a reta é a mesma.)]
Passo 6
Montar a equação paramétrica da reta: ponto + parâmetro × vetor diretor.
Seja
o parâmetro. A forma vetorial é
Isto equivale às equações paramétricas
Explicando: variando
percorre-se toda a reta; o vetor
dá a direção e o ponto inicial é
. Pode-se verificar rapidamente que qualquer ponto obtido assim satisfaz as duas equações dos planos (teste opcional): substituir
nas expressões dos planos traz igualdade verdadeira.