Em cada item abaixo, determine as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico de
no(s) ponto(s) (
. Esboce os gráficos de
e da reta tangente.
, e
.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a função f(x)=sen x e queremos as retas tangente e normal no ponto x₀=0, além de esboçar o gráfico de f e da reta tangente. Vamos precisar usar derivada para achar a inclinação da reta tangente e, a partir dela, obter a reta normal.
Passo 2
Cálculo da derivada: aplicamos que f’(x)=cos x. Logo, no ponto x₀=0 temos f’(0)=cos 0=1. Essa é a inclinação da reta tangente.
Passo 3
Equação da reta tangente: usamos a fórmula da reta no ponto (x₀,f(x₀)) com coeficiente angular m=f’(0). Como f(0)=sen 0=0 e m=1, adotamos
e portanto
Passo 4
Equação da reta normal: a reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco da tangente. Como m_tangente=1, temos m_normal=-1. Passando pelo mesmo ponto (0,0), obtemos
ou simplesmente
Passo 5
Esboço dos gráficos: desenhe a curva y=sen x (passando por (0,0), subindo até (π/2,1) e descendo depois) e trace a reta y=x tocando a curva em (0,0), inclinada de 45°. Ela fica “grudada” na curva naquele ponto.
Resposta
Equação da reta tangente:
. Equação da reta normal:
. Esboço: curva
e reta tangente
tocando-se em (0,0).