Em cada item abaixo, determine as equaçōes das retas tangente e normal ao gráfico de f no(s) ponto(s) ( x0, f(x0)). Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
f(x)=sen x, e x0=0.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x)=sen x e queremos as retas tangente e normal no ponto x₀=0, além de esboçar o gráfico de f e da reta tangente. Vamos precisar usar derivada para achar a inclinação da reta tangente e, a partir dela, obter a reta normal.

Passo 2

Cálculo da derivada: aplicamos que f’(x)=cos x. Logo, no ponto x₀=0 temos f’(0)=cos 0=1. Essa é a inclinação da reta tangente.

Passo 3

Equação da reta tangente: usamos a fórmula da reta no ponto (x₀,f(x₀)) com coeficiente angular m=f’(0). Como f(0)=sen 0=0 e m=1, adotamos
y-0=1,(x-0)
e portanto
y=x

Passo 4

Equação da reta normal: a reta normal tem coeficiente angular igual ao negativo do recíproco da tangente. Como m_tangente=1, temos m_normal=-1. Passando pelo mesmo ponto (0,0), obtemos
y-0=-1,(x-0)
ou simplesmente
y=-x

Passo 5

Esboço dos gráficos: desenhe a curva y=sen x (passando por (0,0), subindo até (π/2,1) e descendo depois) e trace a reta y=x tocando a curva em (0,0), inclinada de 45°. Ela fica “grudada” na curva naquele ponto.

Resposta

Equação da reta tangente: y=x. Equação da reta normal: y=-x. Esboço: curva y=sin x e reta tangente y=x tocando-se em (0,0).

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