Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais) integral x+2x(x-1)(2 x+1) d x

Passo 1

Então, a gente tem que calcular a integral de uma fração racional:
integral x + 2x(x - 1)(2x + 1) , dx
Esse tipo de problema cai no assunto de frações parciais, que é uma técnica muito útil para integrar funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). A gente vai precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x + 2x(x - 1)(2x + 1) em frações mais simples. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de três frações, cada uma com um denominador dos fatores que já temos:
x + 2x(x - 1)(2x + 1) = Ax + Bx - 1 + C2x + 1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos descobrir.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de [A), e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar a equação:
  1. Expandir :
  1. Expandir :
  1. Expandir :
Juntando tudo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo , os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Termo constante:
Resolvendo o sistema:
Do terceiro equação:
Substituindo na primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo :
Então, os valores são:

Passo 4

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a fração original:
x + 2x(x - 1)(2x + 1) = -2x + 1x - 1 + 22x + 1
Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. integral -2x , dx = -2 ln|x|
  2. integral 1x - 1 , dx = ln|x - 1|
  3. integral 22x + 1 , dx
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Deixe u = 2x + 1, então du/dx = 2 Rightarrow dx = du2
Substituindo:
integral 2u cdot du2 = integral 1u , du = ln|u| = ln|2x + 1|

Resposta

Juntando tudo, a integral fica:
integral x + 2x(x - 1)(2x + 1) , dx = -2 ln|x| + ln|x - 1| + ln|2x + 1| + C
Onde C é a constante de integração.

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