Calcule as seguintes integrais: (Frações parciais)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular a integral de uma fração racional:
Esse tipo de problema cai no assunto de frações parciais, que é uma técnica muito útil para integrar funções racionais (quando o numerador e o denominador são polinômios). A gente vai precisar decompor a fração em partes mais simples que são mais fáceis de integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos decompor a fração
em frações mais simples. Isso significa que vamos escrever essa fração como a soma de três frações, cada uma com um denominador dos fatores que já temos:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos descobrir.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de [A),
e
. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Vamos expandir e simplificar a equação:
- Expandir
:
- Expandir
:
- Expandir
:
Juntando tudo:
Agora, agrupamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes dos termos de mesmo grau devem ser iguais. Então, temos o sistema de equações:
- Para
:
- Para
:
- Termo constante:
Resolvendo o sistema:
Do terceiro equação:
Substituindo
na primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Agora, temos:
Somando as duas equações:
Substituindo :
Então, os valores são:
Passo 4
Agora que temos os valores de
,
e
, podemos reescrever a fração original:
Vamos integrar cada termo separadamente:
Para o terceiro termo, fazemos uma substituição simples:
Deixe
, então
Substituindo:
Resposta
Juntando tudo, a integral fica:
Onde
é a constante de integração.