Calcule as seguintes integrais: (Substituição)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular
usando o método de substituição. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para a expressão
, percebemos que o denominador
pode ser substituído por uma nova variável. Vamos definir:
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a relação entre
e
. Derivando ambos os lados da substituição:
Então, podemos escrever:
Isso significa que:
Vamos agora substituir
e
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando:
Isso fica mais fácil de integrar!
Passo 5
A integral
é a mesma que
. A regra básica de integração para potências de
é:
onde
é a constante de integração e
.
Passo 6
Aplicando a regra:
Lembrando que tínhamos um sinal negativo antes da integral original, vamos multiplicar:
Passo 7
Agora, voltamos à variável original substituindo
:
Resposta
Assim, a integral
é igual a: