Calcule as seguintes integrais: (Substituição) integral 1(1-x)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O exercício pede para calcular integral 1(1 - x)^2 , dx usando o método de substituição. Isso faz parte da matéria de cálculo integral, especificamente técnicas de integração. Para resolver, vamos precisar entender como fazer uma substituição que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais fácil de resolver. Olhando para a expressão 1(1 - x)^2, percebemos que o denominador 1 - x pode ser substituído por uma nova variável. Vamos definir:
u = 1 - x
Isso vai nos ajudar a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a relação entre du e dx. Derivando ambos os lados da substituição:
dudx = -1
Então, podemos escrever:
du = -dx
Isso significa que:
dx = -du
Vamos agora substituir u e dx na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral 1(1 - x)^2 , dx = integral 1u^2 cdot (-du)
Simplificando:
= -integral 1u^2 , du
Isso fica mais fácil de integrar!

Passo 5

A integral integral 1u^2 , du é a mesma que integral u^-2 , du. A regra básica de integração para potências de u é:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
onde C é a constante de integração e n neq -1.

Passo 6

Aplicando a regra:
integral u^-2 , du = u^-1-1 + C = -u^-1 + C = -1u + C
Lembrando que tínhamos um sinal negativo antes da integral original, vamos multiplicar:
-(-1u) + C = 1u + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 1 - x:
1u + C = 11 - x + C

Resposta

Assim, a integral integral 1(1 - x)^2 , dx é igual a:
11 - x + C

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