Desenhe as curvas de nível correspondentes aos valores dados de c.
f(x, y)=e^x y, c=e^-2, e^-1, 1, e, e^2, e^3

Passo 1

O enunciado pede para desenhar as curvas de nível da função
f(x,y)=e^x y
correspondentes aos valores de c=e^-2,e^-1,1,e,e^2,e^3.
O conteúdo aqui é “curvas de nível” de uma função de duas variáveis; para isso basta resolver
e^x y=c
e interpretar geometricamente o resultado.

Passo 2

Resolvendo e^x y=c obtemos
x y = ln c
Logo cada curva de nível é a hipérbole de equação
x y = k,
onde k=ln c.

Passo 3

Calculemos k=ln c para cada c:
ln(e^-2)=-2,
ln(e^-1)=-1,
ln(1)=0,
ln(e)=1,
ln(e^2)=2,
ln(e^3)=3.

Passo 4

Portanto as curvas são as hipérboles
xy=-2, xy=-1, xy=0, xy=1, xy=2, xy=3
  • Para k<0 (isto é, xy=-2 e xy=-1) as hipérboles estão nos quadrantes II e IV.
  • Para k=0 ( xy=0) obtemos as retas x=0 e y=0.
  • Para k>0 ( xy=1,2,3) as hipérboles estão nos quadrantes I e III, afastando-se cada vez mais da origem conforme k cresce.

Passo 5

Para esboçar o gráfico:
1. Trace os eixos x e y.
2. Desenhe as hipérboles xy=-2 e xy=-1 passando pelos quadrantes II e IV, mais próximas da origem para -1 e mais afastadas para -2.
3. Desenhe as retas x=0 e y=0.
4. Desenhe as hipérboles xy=1,xy=2,xy=3 nos quadrantes I e III, cada vez mais afastadas da origem conforme o valor de k aumenta.

Resposta

As curvas de nível são as hipérboles de equação
xy=-2, xy=-1, xy=0, xy=1, xy=2, xy=3,
com xy=0 degenerando nas retas coordenadas.

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