Em cada item abaixo determine se
é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo
.
, munido da adição.
Passo 1
O enunciado define o grupo aditivo
.
Queremos ver se é cíclico (isto é, existe
tal que
) e, em caso afirmativo, encontrar todos os geradores.
Queremos ver se
Passo 2
Para mostrar que
é cíclico, note que a aplicação
é um isomorfismo de grupos aditivos. De fato:
- É bem-definida e sobrejetora por construção de
. - É injetora porque
implica , logo . - Preserva a operação de soma:
.
Logo, que é um grupo cíclico.
Passo 3
Num grupo isomorfo a
, os geradores correspondem aos elementos que vêm de
em
. Assim, um candidato a gerador de
é
ou
.
Se tomássemos com
, o subgrupo gerado seria
,
que não cobre todos os múltiplos de . Logo só
geram
.
Se tomássemos
que não cobre todos os múltiplos de