Em cada item abaixo determine se G é um grupo cíclico e em caso afirmativo obtenha todos os geradores do grupo G.
G=Z(raiz7)=n raiz7 mid n in Z, munido da adição.

Passo 1

O enunciado define o grupo aditivo
G = nraiz7mid ninZ.
Queremos ver se G é cíclico (isto é, existe gin G tal que G=lang<= grang<=) e, em caso afirmativo, encontrar todos os geradores.

Passo 2

Para mostrar que G é cíclico, note que a aplicação
varphi:Zto G, varphi(n)=nraiz7
é um isomorfismo de grupos aditivos. De fato:
  1. É bem-definida e sobrejetora por construção de G.
  2. É injetora porque varphi(n)=0 implica nraiz7=0, logo n=0.
  3. Preserva a operação de soma:
    varphi(n+m)=(n+m)raiz7=nraiz7+mraiz7=varphi(n)+varphi(m).
    Logo GcongZ, que é um grupo cíclico.

Passo 3

Num grupo isomorfo a Z, os geradores correspondem aos elementos que vêm de pm1 em Z. Assim, um candidato a gerador de G é
varphi(1)=raiz7 ou varphi(-1)=-raiz7.
Se tomássemos varphi(k)=kraiz7 com |k|>1, o subgrupo gerado seria
lang<= kraiz7rang<==m,(kraiz7)mid minZ=(mk)raiz7mid minZ,
que não cobre todos os múltiplos de raiz7. Logo só k=pm1 geram G.

Resposta

G é um grupo cíclico e seus geradores são exatamente
raiz7e -raiz7

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