Mostre que se G é um grupo que possui apenas uma quantidade finita de subgrupos então G é um grupo finito.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se um grupo G tem apenas um número finito de subgrupos, então necessariamente G é finito.
Conteúdo: teoria de subgrupos e subgrupos cíclicos. Vamos usar a ideia de que cada elemento gera um subgrupo cíclico e que um grupo infinito gera ou infinitos subgrupos cíclicos distintos, ou é união de poucos subgrupos finitos (o que força finitude).

Passo 2

Suponha que exista um elemento gin G de ordem infinita, isto é, lang<= grang<= é isomorfo a Z. Então para cada inteiro positivo n o elemento g^n também tem ordem infinita e gera um subgrupo cíclico distinto de lang<= grang<=. Mais precisamente, se mneq n então
lang<= g^mrang<=neqlang<= g^nrang<=,
pois, num grupo cíclico infinito, lang<= g^nrang<=subsetneqlang<= g^mrang<= sempre que lvert nrvert>lvert mrvert. Logo haveria infinitos subgrupos, contradizendo a hipótese de finitude.

Passo 3

Portanto não existe elemento de ordem infinita em G; isto é, todo elemento de G gera um subgrupo finito. Em particular, cada subgrupo cíclico lang<= grang<= é finito.

Passo 4

Como G tem apenas finitamente muitos subgrupos, digamos
H1,H2,dots,Hk,
e cada Hi é finito, temos
G ;=;cupgin Glang<= grang<= ;=;cupi=1^kHi
Uma união finita de conjuntos finitos é finita. Logo G é finito, contradição com qualquer hipótese de infinitude.

Resposta

G é um grupo finito.

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