Mostre que se
é um grupo que possui apenas uma quantidade finita de subgrupos então
é um grupo finito.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se um grupo
tem apenas um número finito de subgrupos, então necessariamente
é finito.
Conteúdo: teoria de subgrupos e subgrupos cíclicos. Vamos usar a ideia de que cada elemento gera um subgrupo cíclico e que um grupo infinito gera ou infinitos subgrupos cíclicos distintos, ou é união de poucos subgrupos finitos (o que força finitude).
Conteúdo: teoria de subgrupos e subgrupos cíclicos. Vamos usar a ideia de que cada elemento gera um subgrupo cíclico e que um grupo infinito gera ou infinitos subgrupos cíclicos distintos, ou é união de poucos subgrupos finitos (o que força finitude).
Passo 2
Suponha que exista um elemento
de ordem infinita, isto é,
é isomorfo a
. Então para cada inteiro positivo
o elemento
também tem ordem infinita e gera um subgrupo cíclico distinto de
. Mais precisamente, se
então
pois, num grupo cíclico infinito,
sempre que
. Logo haveria infinitos subgrupos, contradizendo a hipótese de finitude.
Passo 3
Portanto não existe elemento de ordem infinita em
; isto é, todo elemento de
gera um subgrupo finito. Em particular, cada subgrupo cíclico
é finito.
Passo 4
Como
tem apenas finitamente muitos subgrupos, digamos
e cada
é finito, temos
Uma união finita de conjuntos finitos é finita. Logo
é finito, contradição com qualquer hipótese de infinitude.